刷题故事：在挑战中不断进步——魔法棒甜点问题的攻克
有一天，在豆包MarsCode AI上我遇到了一个有趣且挑战性极强的问题，这个问题的名字是“魔法棒甜点问题”。这个问题让我不仅对算法技巧有了进一步的认识，还让我意识到通过系统化思维来解决问题的重要性。这个问题不仅考察了我的算法能力，还挑战了我如何从多个方向来优化问题的求解方法。
问题背景： 题目给出了N个甜点，每个甜点都有一个固定的喜爱值。小R有M个魔法棒，他可以选择性地使用魔法棒来改变甜点的喜爱值——将它变为原喜爱值的阶乘。小R的目标是通过选择一些甜点，可能使用魔法棒，使得这些甜点的喜爱值之和恰好为预期的值S。
问题的核心是如何有效地利用魔法棒和选择哪些甜点，使得所有选中的甜点（可能经过魔法棒变换）的喜爱值之和恰好为S。需要考虑每个甜点是否使用魔法棒，是否选择它，以及魔法棒的数量限制。
第一次接触问题：
刚开始接触这道题目时，我有些迷茫。题目中涉及到的不仅是选择甜点，还包括是否使用魔法棒，以及如何有效计算每个甜点的阶乘。最初，我简单地考虑了一个暴力解法：尝试所有可能的甜点选择和魔法棒使用方式，查看是否能得到预期的结果。这个方法虽然直观，但由于有太多的选择组合，导致代码在执行时变得非常缓慢。
借助AI的解题指导：
我意识到，暴力解法可能并不是最佳选择，于是我决定向豆包MarsCode AI求助。AI为我提供了一个更精确的解决思路，利用动态规划（DP）来解决这个问题。
通过AI的提示，我了解到可以通过状态转移来求解这个问题。设dp[i][j][k]表示选择前i个甜点，使用j个魔法棒时，能得到的甜点喜爱值之和为k的方案数。这样，我们就能逐步通过递推计算出所有可能的情况。关键在于如何选择是否对某个甜点使用魔法棒，以及如何合理更新状态转移。
问题分析与优化：
通过AI的启发，我开始逐步优化我的代码。首先，我们定义一个状态转移数组dp[i][j][s]来表示在前i个甜点中，使用j个魔法棒，且最终喜爱值之和为s的不同方案数。状态转移的核心是考虑每个甜点是否使用魔法棒，并更新状态数组。
具体来说，假设对于第i个甜点，我们有两种选择：
- 不使用魔法棒：如果不使用魔法棒，则这个甜点的喜爱值直接加到总和中，状态转移公式为：
dp[i][j][s] += dp[i-1][j][s-like[i]]，表示如果当前总和为s且第i个甜点不使用魔法棒，那么在前i-1个甜点中使用j个魔法棒且总和为s-like[i]的方案数即为当前方案数。 - 使用魔法棒：如果使用魔法棒，则这个甜点的喜爱值变为其阶乘。状态转移公式为：
dp[i][j][s] += dp[i-1][j-1][s-factorial(like[i])]，表示如果当前总和为s且第i个甜点使用了魔法棒，那么在前i-1个甜点中使用j-1个魔法棒且总和为s-factorial(like[i])的方案数即为当前方案数。
通过这种递推方式，我们能够逐步计算出最终答案。
突破与收获：
在解决这道题的过程中，我逐渐掌握了如何通过动态规划来优化问题求解，避免了暴力解法中的指数级增长问题。而AI为我提供的思路，帮助我快速理解并实现了动态规划的解决方法。当我通过代码成功计算出题目中的各种不同方案时，我感到非常兴奋。
举个具体例子，假设输入为：n = 3, m = 2, s = 6, like = [1, 2, 3]，经过我的优化解法，程序最终输出了5种不同的方案。这让我不仅验证了我的解法的正确性，也看到了算法优化带来的效率提升。通过这次刷题经历，我深刻感受到动态规划的强大以及如何在大规模问题中通过合适的优化方法获得高效解法。
