小C的数字倍数问题 | 豆包MarsCode AI刷题

问题描述

小U对数字倍数问题很感兴趣，她想知道在区间$[l,r]$内，有多少个数是$a$的倍数，或者是$b$的倍数，或者是$c$的倍数。你需要帮小U计算出这些数的个数。

测试样例

样例1：

输入：a = 2,b = 3,c = 4,l = 1,r = 10
输出：7

样例2：

输入：a = 5,b = 7,c = 11,l = 15,r = 100
输出：34

样例3：

输入：a = 1,b = 1,c = 1,l = 1,r = 1000
输出：1000

题目分析

暴力做法 - O(r - l)

有一个很容易构想的做法：我们只需要枚举区间[l,r]中的所有数字，分别对a，b，c三个数取模，判断是否为三个数中任何一个数的倍数即可。

时间复杂度$O(r-l)$，自信提交，直接TLE。

看起来这种方法是不够快的，得需要一点数学上的思考。

容斥原理 - O(1)

通过观察，题目要求我们计算在区间 [l, r] 内，有多少个数是 a 的倍数，或者是 b 的倍数，或者是 c 的倍数。

一个很自然的思路是：计算区间 [l, r] 内 a 的倍数的个数，b 的倍数的个数， c 的倍数的个数，将他们全部加起来。计算单个区间某个数的倍数很简单，例如x：我们只需要 $r / x - (l-1) / x$ 就是所求答案。

但这样会带来一个新的问题，由于 a、b、c 的倍数可能有重叠，我们需要减去这些重叠的部分。

重叠部分的处理：

• 减去 a 和 b 的倍数的重叠部分（即 lcm(a, b) 的倍数）。
• 减去 a 和 c 的倍数的重叠部分（即 lcm(a, c) 的倍数）。
• 减去 b 和 c 的倍数的重叠部分（即 lcm(b, c) 的倍数）。
• 最后，加上 a、b、c 三者的倍数的重叠部分（即 lcm(lcm(a, b), c) 的倍数）。

这个过程我们将其称为容斥。

在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和 = A类元素个数 + B类元素个数 + C类元素个数 — 既是A类又是B类的元素个数 — 既是A类又是C类的元素个数 — 既是B类又是C类的元素个数 + 既是A类又是B类而且是C类的元素个数。（A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）

C++代码

typedef long long ll;
int solution(int a, int b, int c, int l, int r) {
    ll ans = 0;
    l --;
    ans += r / a - l / a;
    ans += r / b - l / b;
    ans += r / c - l / c;
    ans -= r / (lcm(a ,b)) - l / (lcm(a ,b));
    ans -= r / (lcm(a ,c)) - l / (lcm(a ,c));
    ans -= r / (lcm(c ,b)) - l / (lcm(c ,b));
    a = lcm(a, b);
    a = lcm(a, c);
    ans += r / a - l / a;
    return ans;
}