问题思路
在 “好数组的总数” 这一问题中，我们给定了包含 N 个整数的数组 A，其中每个元素编号从 0 到 N - 1，并且有一个整数 K，数组 A 的每个元素都在 1 到 K 的范围内。我们需要定义一个长度为 N 的数组 B 为好数组，好数组需要满足两个条件：一是每个元素 B [i] 都在 1 到 K 的范围内；二是对于所有从 0 到 N - 2 的索引 i，满足 B [i]+B [i + 1]=A [i]+A [i + 1]。我们的任务是计算满足上述条件的好数组的总数。
问题详解
首先，我们使用dp = [[0] * (K + 1) for _ in range(N)]初始化了一个二维数组dp。这个数组用于存储中间计算结果，dp[i][j]表示在数组 B 的第 i 个位置取 j 值时满足条件的数组个数。对于dp数组的第一行（即i = 0时），我们将dp[0][j]（其中j从 1 到 K）都初始化为 1，因为在第一个位置可以是 1 到 K 中的任意一个值。
然后进入状态转移阶段，通过两层循环for i in range(1, N)和for j in range(1, K + 1)来遍历数组 B 的位置和可能的值。对于每个dp[i][j]，我们通过内层循环for k in range(1, K + 1)来计算。当A[i - 1]+A[i]==k + j时，说明当前dp[i][j]可以由dp[i - 1][k]转移而来，所以我们将dp[i][j]加上dp[i - 1][k]。计算最终结果
最后，我们通过循环for j in range(1, K + 1)将dp[N - 1][j]的值累加到result中，result就是满足条件的好数组的总数。
代码
def solution(N: int, K: int, A: list[int]) -> int: # 初始化 dp 数组 dp = [[0] * (K + 1) for _ in range(N)]
# 初始化第一个位置
for j in range(1, K + 1):
dp[0][j] = 1 # 第一个位置可以是 1 到 K 中的任意一个值
# 状态转移
for i in range(1, N):
for j in range(1, K + 1):
# 计算 dp[i][j]
for k in range(1, K + 1):
if A[i-1] + A[i] == k + j:
dp[i][j] += dp[i-1][k]
# 计算最终结果
result = 0
for j in range(1, K + 1):
result += dp[N-1][j]
return result
if name == 'main': print(solution(N = 3, K = 2, A = [1, 2, 1]) == 2) print(solution(N = 4, K = 3, A = [1, 3, 2, 1]) == 1) print(solution(N = 2, K = 1, A = [1, 1]) == 1)
知识总结
在解决这类问题时，关键在于正确理解和应用动态规划的原理。首先，需要确定状态表示，即dp[i][j]的含义，它表示考虑到第i个位置，以j结尾的好数组的数量。其次，要明确状态转移方程，即如何从已知的状态推导出未知的状态。在本题中，状态转移方程为：如果A[i-1]+A[i]=k+j，则dp[i][j] += dp[i-1][k]。最后，初始化和边界条件的处理也非常关键，这有助于简化问题并避免不必要的计算。
结论
通过上述分析可以看出，“好数组的总数”是一个考察动态规划思维的典型问题。在刷题的过程中，我们应该注重理解题目背后的逻辑，掌握动态规划的核心思想，并通过不断的练习来提高解题速度和准确性。同时，合理利用AI工具和其他资源，可以使我们的学习更加高效。希望每位编程学习者都能找到适合自己的学习方法，享受编程带来的乐趣。
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