观光景点组合得分问题 | 豆包MarsCode AI 刷题问题描述小R正在研究一组观光景点，每个景点都有一个评分，保存

问题描述

小R正在研究一组观光景点，每个景点都有一个评分，保存在数组 values 中，其中 values[i] 表示第 i 个观光景点的评分。同时，景点之间的距离由它们的下标差 j - i 表示。

一对景点 (i < j) 的观光组合得分为 values[i] + values[j] + i - j，也就是两者评分之和减去它们之间的距离。

小R想知道，在哪种情况下能够获得观光景点组合的最高得分。

测试样例

样例1：

输入：values = [8, 3, 5, 5, 6]
输出：11

样例2：

输入：values = [10, 4, 8, 7]
输出：16

样例3：

输入：values = [1, 2, 3, 4, 5]
输出：8

解题思路

本题解题关键是理解题目中的得分计算方式：values[i] + values[j] + i - j。我们的目标是最大化这个得分。这里采用动态规划思想解题。解题过程如下：

理解得分计算：
- 得分由两部分组成：两个景点的评分之和 values[i] + values[j]，以及它们下标差的相反数 i - j。
- 由于 i < j，i - j 总是负数，所以我们实际上是在最小化 j - i。
动态规划状态定义：
- 定义 dp[i] 为考虑前 i 个景点，以第 i 个景点结尾时的最大得分。
状态转移方程：
- 对于每个景点 i，我们有两种选择：不选择它，或者选择它。
- 如果不选择第 i 个景点，那么最大得分就是 dp[i-1]。
- 如果选择第 i 个景点，我们需要找到之前的最佳景点 k（k < i），使得 dp[k] + values[i] + k - i 最大。
优化：
- 由于 k - i 是负数，我们实际上希望 k 尽可能小，这样 k - i 的绝对值就尽可能大。
- 因此，我们只需要维护一个变量 max_score 来记录到目前为止的最大得分，每次更新 dp[i] 时，我们比较 max_score 和当前的得分，取较大值。
实现：
- 初始化 dp[0] 为 values[0]，因为只有一个景点时，最大得分就是其自身的评分。
- 遍历每个景点 i，更新 dp[i] 和 max_score。
- dp[i] 的值是 values[i] + i 和 dp[i-1] 中的较大值，因为我们需要最大化当前景点的得分。
- max_score 的值是 dp[i-1] + values[i] - i 和当前 max_score 中的较大值，因为我们需要最大化两个景点的组合得分。
返回结果：
- 遍历结束后，max_score 就是全局最大得分。

这种方法的优点是时间复杂度较低，只需要 O(n) 的时间，空间复杂度也较低，只需要 O(n) 的空间。它利用了问题的特定性质，通过维护一个当前最大得分的变量来避免复杂的状态转移，从而简化了问题。

代码实现

def solution(values: list) -> int:
     n = len(values)
    if n < 2:   # 景区数小于2,则得分为0
        return 0

    # 初始化dp数组，dp[i]表示以第i个景点结尾的最大得分
    dp = [0] * n
    dp[0] = values[0]
    max_score = float('-inf')  # 初始化最大得分为负无穷

    for i in range(1, n):
        # 计算以第i个景点结尾的最大得分
        dp[i] = max(dp[i-1], values[i] + i)
        # 更新全局最大得分
        max_score = max(max_score, dp[i-1] + values[i] - i)

    return max_score

if __name__ == '__main__':
    print(solution(values=[8, 3, 5, 5, 6]) == 11)
    print(solution(values=[10, 4, 8, 7]) == 16)
    print(solution(values=[1, 2, 3, 4, 5]) == 8)

上述代码的时间复杂度和空间复杂度均为O(n)。