合法三元组数计算 | 豆包MarsCode AI刷题

海棠听风142
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问题描述

小C、小U 和小R 三个好朋友喜欢做一些数字谜题。这次他们遇到一个问题，给定一个长度为n的数组a，他们想要找出符合特定条件的三元组 (i, j, k)。具体来说，三元组要满足 0 <= i < j < k < n，并且 max(a[i], a[j], a[k]) - min(a[i], a[j], a[k]) = 1，也就是说，最大值与最小值之差必须为1。
他们决定请你帮忙编写一个程序，计算符合这个条件的三元组数量。

测试样例

样例1：

输入：a = [2, 2, 3, 1]
输出：2

样例2：

输入：a = [1, 3, 2, 2, 1]
输出：5

样例3：

输入：a = [1, 3, 2, 2, 1, 2]
输出：12

问题理解

我们需要找出数组 a 中所有满足以下条件的三元组 (i, j, k)：

  1. 0 <= i < j < k < n
  2. max(a[i], a[j], a[k]) - min(a[i], a[j], a[k]) = 1

这意味着三元组中的三个元素必须满足最大值和最小值之差为1。

数据结构选择

为了高效地解决这个问题，我们可以考虑使用哈希表（或字典）来记录每个元素的出现次数。这样可以帮助我们快速计算符合条件的三元组数量。

算法步骤

  1. 统计元素频率：首先遍历数组，统计每个元素的出现次数。

  2. 计算三元组数量：

    • 对于每个元素 x，检查是否存在 x+1 和 x-1 的元素。
    • 如果存在，计算以 x 为中心的三元组数量。

具体步骤

  1. 统计频率：使用一个哈希表 freq 记录每个元素的出现次数。

  2. 计算三元组：

    • 遍历哈希表中的每个元素 x，检查 x+1 和 x-1 是否存在。
    • 如果存在，计算以 x 为中心的三元组数量。

代码实现

#include #include #include <unordered_map>

using namespace std;

long long solution(vector a) { // 统计元素频率 unordered_map<int, int> freq; for (int num : a) { freq[num]++; }

long long count = 0;

// 计算三元组数量
for (auto& [num, f] : freq) {
    // 检查 num+1 是否存在
    if (freq.count(num + 1)) {
        // 计算以 num 为中心的三元组数量
        // 这里需要计算组合数，具体公式为 C(f, 2) * freq[num + 1]
        // 其中 C(f, 2) 表示从 f 个元素中选 2 个的组合数
        count += (long long)f * (f - 1) / 2 * freq[num + 1];
    }
    
    // 检查 num-1 是否存在
    if (freq.count(num - 1)) {
        // 计算以 num 为中心的三元组数量
        // 这里需要计算组合数，具体公式为 C(f, 2) * freq[num - 1]
        count += (long long)f * (f - 1) / 2 * freq[num - 1];
    }
}

return count;

}

int main() { vector a1 = {2, 2, 3, 1}; vector a2 = {1, 3, 2, 2, 1}; vector a3 = {1, 3, 2, 2, 1, 2};

cout << (solution(a1) == 2) << endl;
cout << (solution(a2) == 5) << endl;
cout << (solution(a3) == 12) << endl;

return 0;

}

心得体会：

1. 组合数学的应用

在计算三元组数量时，我们需要计算组合数。具体来说，对于每个元素 x，我们需要计算从 x 的频率中选择两个元素的组合数 C(f, 2)，其中 f 是 x 的出现次数。这个组合数的计算公式为：

plaintext

C(f, 2) = f * (f - 1) / 2

这个公式在计算三元组数量时非常有用，因为它帮助我们快速计算出以 x 为中心的三元组数量。

2. 哈希表的高效性

使用哈希表（unordered_map）来统计元素频率是一个非常高效的方法。哈希表可以在平均 O(1) 的时间内完成插入和查找操作，这使得我们能够快速地统计每个元素的出现次数，并在后续计算中快速查找相邻元素的频率。

3. 边界条件的处理

解决这个问题让我对组合数学和哈希表的应用有了更深的理解。以下是我对这个问题的几点心得体会：

1. 组合数学的应用

在计算三元组数量时，我们需要计算组合数。具体来说，对于每个元素 x，我们需要计算从 x 的频率中选择两个元素的组合数 C(f, 2)，其中 f 是 x 的出现次数。这个组合数的计算公式为：

C(f, 2) = f * (f - 1) / 2

这个公式在计算三元组数量时非常有用，因为它帮助我们快速计算出以 x 为中心的三元组数量。

2. 哈希表的高效性

使用哈希表（unordered_map）来统计元素频率是一个非常高效的方法。哈希表可以在平均 O(1) 的时间内完成插入和查找操作，这使得我们能够快速地统计每个元素的出现次数，并在后续计算中快速查找相邻元素的频率。

3. 边界条件的处理

在计算三元组数量时，我们需要特别注意边界条件。例如，当 x 的频率为1时，C(f, 2) 的值为0，这意味着以 x 为中心的三元组数量为0。此外，我们还需要确保 x+1 和 x-1 在哈希表中存在，否则计算结果会出错。

4. 时间复杂度的优化

通过使用哈希表和组合数学公式，我们能够将时间复杂度优化到 O(n)，其中 n 是数组的长度。这种优化在处理大规模数据时尤为重要，因为它避免了嵌套循环带来的高时间复杂度。

5. 代码的可读性和维护性

在编写代码时，保持代码的可读性和维护性非常重要。通过使用清晰的变量命名和注释，我们可以使代码更易于理解和维护。此外，将逻辑分解为多个小步骤，也有助于提高代码的可读性。

总结

解决这个问题让我深刻体会到组合数学和哈希表在算法设计中的重要性。通过合理选择数据结构和算法，我们能够高效地解决复杂的问题。同时，保持代码的可读性和维护性也是编程过程中不可忽视的重要环节。

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