动态规划中的背包问题是一种经典模型，主要涉及如何在有限的容量下选择物品，使得总价值最大化。以下是几种常见的简单类型
个人学习建议
先理解DP这种利用问题的最优子结构实现的巧妙解法。不妨自己模拟DP的计算过程，自己手算几题基本就了解了。 然后就是大量刷题咯，但是也不能一直刷水题，要刷难度略高于自身的题目。动态规划的模型十分灵活，变种繁多，但是只要我们认真分析，从几个基本模型出发，都能解决。
1. 0/1 背包问题
问题描述
给定 n 个物品，每个物品有一个重量 w[i] 和一个价值 v[i]。你有一个容量为 W 的背包。你需要选择一些物品放入背包，使得总重量不超过 W，并且总价值最大化。每个物品只能选择一次（0 或 1 次）。
解法以及时空复杂度分析
- 状态转移方程：
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])，其中dp[i][j]表示前i个物品在容量为j时的最大价值。 - 考虑第i个物品放或者不放,放或不放，分别从两个容量不同的背包继承来
- 时间复杂度是N*V无疑了，空间却可以优化为W。我们可以去掉第一维，相当于滚动数组优化，如果我们背包容量的循环采用V...0的顺序倒推的话，那么能保证求dp[v]时，dp[v-c[i]]的状态实际是dp[i-1][v-c[i]]的值了。
- 初始化细节，如果要求恰好装满背包，那么初始化dp[0]=0,其他的设为负无穷即可。如果不要求装满，只希望价值最大，那么全清0即可。可以这样理解，初始化的dp数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可能被价值0的东西恰好装满，其他容量均没有合法解，属于未定义状态，那么值就是负无穷，如果背包不一定要装满，那么任何容量背包都有一个合法解"什么都不装",价值为0。
2. 完全背包问题
问题描述
与 0/1 背包问题类似，但每个物品可以选择无限次。这就不是放或者不放的问题了，而是放多少的问题了
解法以及时空复杂度分析
- 如果考虑加一重循环来考虑放几件的话，或者将一种物品拆分为多件物品，还可以使用二进制拆分方法，将一种物品拆分成多个物品集合，每个集合都是2的次幂个相同物品的捆绑包，只要这个捆绑包的体积不超过V即可，这样这些捆绑包就能组合出不同件数的物品了，但时间复杂度都会超过W*N。
- 完全背包有一个简单的优化，如果一件物品的体积大还价值小，明显可以去掉它,N^2解决。对于背包类问题，还可以先去掉大于背包体积的单件物品，然后计算出费用相同的物品中价值最高的是哪个,V+N解决。
- 如果把01背包的倒序计算改为顺序的话，那么就是完全背包了，在第i件状态时，容量W的状态也会考虑到已经选了第i件物品的W-c[i]的状态，变成了加选一件,这也是利用了局部最优子结构的性质重复了之前的枚举过程，优化了枚举的复杂度
- 状态转移方程：
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-w[i]] + v[i])，其中dp[i][j]表示前i个物品在容量为j时的最大价值。
3. 多重背包问题
问题描述
与 0/1 背包问题类似，但每个物品有一个数量限制 c[i]，表示最多可以选择 c[i] 个。每种物品可以选择有限次
解法以及时空复杂度分析
- 和上面的完全背包类似，可以直接简单的加一重循环来实现。
- 但是还有一种难度不高，效率也较快的解法：每种物品的数量不一样多为c[i]，简单的思路就是拆分，二进制拆分1,2,4...2(k-1)加上c[i]-2k+1(k是满足这项>0的最大整数),这样就能保证能组合出0...2k-1件,2k...c[i]件的物品选择。
- 此外还有V*N的更优解法，是用单调队列优化,难度较大，大家可以自行查阅
总结
背包问题的核心在于如何选择物品以最大化价值，同时满足容量限制。不同类型的背包问题在状态转移方程和物品选择策略上有所不同，但都可以通过动态规划来解决。理解这些基本类型有助于解决更复杂的背包问题。
