题目解析：补给站最优花费问题 | 豆包MarsCode AI刷题

问题描述

小U计划进行一场从地点A到地点B的徒步旅行，旅行总共需要 M 天。为了在旅途中确保安全，小U每天都需要消耗一份食物。在路程中，小U会经过一些补给站，这些补给站分布在不同的天数上，且每个补给站的食物价格各不相同。

小U需要在这些补给站中购买食物，以确保每天都有足够的食物。现在她想知道，如何规划在不同补给站的购买策略，以使她能够花费最少的钱顺利完成这次旅行。

• M：总路程所需的天数。
• N：路上补给站的数量。
• p：每个补给站的描述，包含两个数字 A 和 B，表示第 A 天有一个补给站，并且该站每份食物的价格为 B 元。

保证第0天一定有一个补给站，并且补给站是按顺序出现的。

测试样例

样例1：

输入：m = 5 ,n = 4 ,p = [[0, 2], [1, 3], [2, 1], [3, 2]]
输出：7

题目解析

这是一道动态规划问题，核心是最优子结构的构建与状态转移。题目要求小U在徒步旅行中花费最少的钱购买食物，需要我们设计一个算法来规划购买策略。以下是详细分析和解答步骤。

解题思路

1. 状态定义
   用一个数组 dp[i] 表示到第 i 天为止的最小花费。

2. 状态转移方程

   • 从一个补给站到另一天，可以根据补给站的食物价格和需要购买的天数计算花费： dp[i]=min⁡(dp[i],dp[day]+(i−day)×price)dp[i] = \min(dp[i], dp[day] + (i - day) \times price)dp[i]=min(dp[i],dp[day]+(i−day)×price)

   其中：

   • day 是补给站所在的天数。
   • price 是该补给站的食物单价。
   • 状态转移的核心是考虑从某个补给站出发，购买足够的食物以支撑到当前天 i，并比较多种选择后的最小花费。

3. 初始化

   • 第 0 天 dp[0] = 0，因为初始花费为 0。
   • 其余天数的 dp 初始化为正无穷大，表示初始状态下无法到达。

4. 遍历顺序

   • 外层循环遍历每一天 i。
   • 内层循环遍历所有补给站，更新当天的最小花费。

5. 结果

   • 最终返回 dp[m] 即为完成所有天数所需的最小花费。

   • 时间复杂度与优化

6. 时间复杂度

   • 外层遍历天数 O(M)。
   • 内层遍历补给站 O(N)。
   • 总复杂度：O(M * N)。

7. 空间复杂度

   • 使用了一维数组 dp：O(M)。

8. 优化思路

   • 可使用滑动窗口优化 dp 更新，减少不必要的重复计算。

总结

• 动态规划的核心是找到最优子结构并构建状态转移公式。
• 本题通过二维数组的遍历和对状态的合理初始化，成功实现了从起点到终点的最小花费计算。
• 图解可以帮助理解问题的本质，明确每一步的状态转移。