0-1背包理论知识
有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
解题思路
回溯3问：
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当前操作？枚举第i个物品选或不选： 不选，剩余容量不变；选，剩余容量减少w[i]
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子问题？在剩余容量为C时， 从前i个物品中得到的最大价值和
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下一个子问题？分类讨论：
不选：在剩余容量为c时， 从前i－1个物品中得到的最大价值和
选: 在剩余容量为 c - w[i] 时, 从前i－1个物品中得到的最大价值和
问题描述
一个旅行者外出旅行时需要将 n 件物品装入背包，背包的总容量为 m。每个物品都有一个重量和一个价值。你需要根据这些物品的重量和价值，决定如何选择物品放入背包，使得在不超过总容量的情况下，背包中物品的总价值最大。
给定两个整数数组 weights 和 values，其中 weights[i] 表示第 i 个物品的重量，values[i] 表示第 i 个物品的价值。你需要输出在满足背包总容量为 m 的情况下，背包中物品的最大总价值。
测试样例
样例1：
输入：
n = 3 ,weights = [2, 1, 3] ,values = [4, 2, 3] ,m = 3
输出：6
样例2：
输入：
n = 4 ,weights = [1, 2, 3, 2] ,values = [10, 20, 30, 40] ,m = 5
输出：70
解题思路
-
定义状态：我们可以使用一个二维数组
dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中，背包容量为j时的最大价值。 -
状态转移方程：
- 如果不选择第
i个物品，那么dp[i][j] = dp[i-1][j]。 - 如果选择第
i个物品，那么dp[i][j] = dp[i-1][j-weights[i]] + values[i]。 - 最终的状态转移方程为：
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weights[i]] + values[i])。
- 如果不选择第
-
初始化：
dp[0][j]应该初始化为0，因为没有任何物品时，最大价值为0。 -
最终结果：
dp[n][m]即为所求的最大价值。
public class Main {
public static int solution(int n, int[] weights, int[] values, int m) {
// 创建一个二维数组 dp，大小为 (n+1) x (m+1)
int[][] dp = new int[n + 1][m + 1];
// 初始化 dp 数组
// 这里可以省略，因为 Java 中数组默认初始化为 0
// 填充 dp 数组
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 0; j <= m; j++) {
// 不选择第 i 个物品
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
// 如果当前背包容量 j 大于等于第 i 个物品的重量
if (j >= weights[i - 1]) {
// 选择第 i 个物品
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - 1][j - weights[i - 1]] + values[i - 1]);
}
}
}
// 返回最大价值
return dp[n][m];
}
public static void main(String[] args) {
System.out.println(solution(3, new int[]{2, 1, 3}, new int[]{4, 2, 3}, 3) == 6);
System.out.println(solution(4, new int[]{1, 2, 3, 2}, new int[]{10, 20, 30, 40}, 5) == 70);
System.out.println(solution(2, new int[]{1, 4}, new int[]{5, 10}, 4) == 10);
}
}
