题目
代码实现
ef solution(n, array):
# Edit your code here
max_area = 0
for start in range(n): # 子数组的起始位置
min_height = float('inf') # 初始化最小高度为无穷大
for end in range(start, n): # 子数组的结束位置
min_height = min(min_height, array[end]) # 更新最小高度
current_area = min_height * (end - start + 1) # 计算当前子数组的面积
max_area = max(max_area, current_area) # 更新最大面积
return max_area
if __name__ == "__main__":
# Add your test cases here
print(solution(5, [1, 2, 3, 4, 5]) == 9)
问题背景
假设有一个数组 h，其中每个元素 hi 表示某一点的高度。对于任意 k 个相邻的元素，定义这些元素能形成的最大矩形面积 R(k) 为这 k 个元素中的最小高度乘以 k。我们的目标是在给定的数组中找到所有可能的 R(k) 中的最大值。
解决方案概述
直观上，解决这个问题的一个方法是对所有可能的连续子数组进行两两比较，找到每个子数组中最小的高度，然后根据定义计算矩形面积，最后选出最大的那个。然而，这种暴力解法的时间复杂度较高，对于大数据集可能不适用。因此，我们需要寻找更加高效的方法。
数据结构与算法设计
单调栈的应用
单调栈是一种特殊的栈，它按照某种规则（如递增或递减）保持栈内元素的顺序。在这个问题中，我们可以利用单调栈来快速定位每个高度作为最小高度时所能形成的矩形的最大宽度。具体来说，通过维护一个非递减的栈，我们可以在遍历数组的同时，快速确定当前高度作为最小高度时左右边界的位置，进而计算出矩形面积。
算法步骤
- 初始化：创建两个辅助数组
left和right，分别用来存储每个高度左边第一个小于它的位置和右边第一个小于它的位置。同时，初始化一个空栈stack。 - 构建左边界数组：从前向后遍历数组，对于每个元素，如果栈顶元素的高度大于等于当前元素，则弹出栈顶元素直到栈为空或栈顶元素小于当前元素。此时，栈顶元素就是当前元素左边第一个小于它的元素。将当前元素的索引压入栈中。
- 构建右边界数组：从后向前遍历数组，同样地，对于每个元素，如果栈顶元素的高度大于等于当前元素，则弹出栈顶元素直到栈为空或栈顶元素小于当前元素。此时，栈顶元素就是当前元素右边第一个小于它的元素。将当前元素的索引压入栈中。
- 计算最大矩形面积：遍历数组，对于每个元素，利用
left和right数组计算以其高度为最小高度的矩形面积，并更新最大面积。
实现细节
在实际编码过程中，需要注意边界条件的处理，例如当某个元素左边没有比它小的元素时，可以认为其左边界为 -1；同理，当右边没有比它小的元素时，右边界为数组长度。
总结与反思
通过使用单调栈，我们能够有效地减少计算最大矩形面积所需的时间复杂度，从原始的 O(n2) 降低到了 O(n)。这种方法不仅提高了算法的效率，也展示了数据结构在解决问题中的重要性。在面对类似的问题时，考虑合适的数据结构可以帮助我们找到更加优雅和高效的解决方案。
此外，本题还体现了算法设计中的一个重要原则——“预处理”。通过预先计算每个元素的左边界和右边界，我们避免了在主循环中重复计算这些值，从而显著提升了程序的运行速度。这种技巧在很多算法问题中都非常有用，值得我们在实践中不断学习和应用。
最后，解决这类问题的关键在于理解问题的本质和约束条件，合理选择数据结构，并通过逻辑清晰的步骤来实现算法。
