01背包最大价值问题 | 豆包MarsCode AI刷题

问题描述

一个旅行者外出旅行时需要将 n 件物品装入背包，背包的总容量为 m。每个物品都有一个重量和一个价值。你需要根据这些物品的重量和价值，决定如何选择物品放入背包，使得在不超过总容量的情况下，背包中物品的总价值最大。 给定两个整数数组 weights 和 values，其中 weights[i] 表示第 i 个物品的重量，values[i] 表示第 i 个物品的价值。你需要输出在满足背包总容量为 m 的情况下，背包中物品的最大总价值。

思路解析

这个问题是一个经典的0/1背包问题，我们通常使用动态规划来解决。以下是解题的思路：

目标： 在给定背包容量 m 下，选择的物品使得总重量不超过 m，同时我们需要让背包中的总价值最大。

特性：

1. 每个物品要么选，要么不选。并不是每个物品都需要进行选择
2. 动态规划的核心是 决策选择 和 状态转移。

动态规划的定义

假设 数组dp[j] 是表示在容量 j 下，可以获得的最大价值。因此，我们的最终目标是求 dp[m]。

状态转移方程

对于每个物品 i：

1. 如果不选第 i个物品，价值为 dp[j]（继承上一状态）。
2. 如果选择第 i 个物品，价值为 dp[j - weights[i]] + values[i]（减去重量，加上价值）。 状态转移的公式如下：

初始化

• 初始 dp[j] 全部为 0，因为没有物品时，任何容量下价值都是 0。

优化方向

动态规划通常通过二维数组表示：dp[i][j] 表示前 i 个物品在容量 j 下的最大价值。
但可以优化为一维数组 dp[j]，从后向前遍历容量 j，避免覆盖影响。

代码详解

1. 初始化：
   • 创建一维数组 dp，大小为 m+1，所有值初始化为 0。
2. 物品选择：
   • 外层循环遍历物品，内层从容量 m 向 weights[i]倒序更新。
   • 倒序更新避免覆盖之前未处理的数据。
3. 更新规则：
   • 每次取当前状态和加入当前物品后的状态的较大值。

复杂度分析

1. 时间复杂度：
   • 外层遍历物品 O(n)，内层遍历容量 O(m)，总复杂度为 O(n⋅m)。
2. 空间复杂度：
   • 使用一维数组 dp，复杂度为 O(m)。