下面是对Ai刷题的172题的小C数字倍数问题详解
问题描述
小U对数字倍数问题很感兴趣，她想知道在区间l,r内，有多少个数是aa的倍数，或者是bb的倍数，或者是cc的倍数。你需要帮小U计算出这些数的个数。
代码
import math
import functools
def gcd(a, b):
while b != 0:
a, b = b, a % b
return a
def lcm(a, b):
return a * b // gcd(a, b)
def solution(a: int, b: int, c: int, l: int, r: int) -> int:
def count_multiples(x: int):
return (r // x) - ((l - 1) // x)
lcm_ab = lcm(a, b)
lcm_ac = lcm(a, c)
lcm_bc = lcm(b, c)
lcm_abc = lcm(lcm_ab, c)
total = count_multiples(a) + count_multiples(b) + count_multiples(c)
total -= count_multiples(lcm_ab) + count_multiples(lcm_ac) + count_multiples(lcm_bc)
total += count_multiples(lcm_abc)
return total
if __name__ == "__main__":
print(solution(2, 3, 4, 1, 10) == 7)
print(solution(5, 7, 11, 15, 100) == 34)
print(solution(1, 1, 1, 1, 1000) == 1000)
一、思路解析
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求最小公倍数（LCM）的目的
- 在这个问题中，我们要计算区间([l,r])内是(a)、(b)、(c)的倍数的数的个数。为了避免重复计算，我们需要用到最小公倍数的概念。
- 例如，一个数可能既是(a)的倍数又是(b)的倍数，如果直接将是(a)的倍数的个数和是(b)的倍数的个数相加，就会重复计算这些既是(a)又是(b)的倍数的数。最小公倍数(lcm(a,b))可以帮助我们找到这些重复的部分并进行修正。
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容斥原理的应用
- 首先，我们分别计算是(a)、(b)、(c)的倍数的数的个数，即(count_multiples(a))、(count_multiples(b))和(count_multiples(c))。这一步是比较直观的，对于一个数(x)，在区间([l,r])内是(x)的倍数的数的个数可以通过((r//x)-((l - 1)//x))来计算。这里(r//x)表示(r)以内(x)的倍数的个数，((l - 1)//x)表示(l)之前(x)的倍数的个数，两者相减就得到区间([l,r])内(x)的倍数的个数。
- 然后，我们根据容斥原理进行调整。当我们把是(a)、(b)、(c)的倍数的数的个数相加时，那些既是(a)和(b)的倍数（即(lcm(a,b))的倍数）、既是(a)和(c)的倍数（即(lcm(a,c))的倍数）、既是(b)和(c)的倍数（即(lcm(b,c))的倍数）的数被重复计算了，所以要减去。
- 但是，在减去这些重复部分的时候，那些既是(a)、(b)又是(c)的倍数（即(lcm(lcm(a,b),c)=lcm(a,b,c))的倍数）的数被多减了一次，所以最后要加上(count_multiples(lcm(a,b,c)))。
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函数的功能
gcd函数用于计算两个数的最大公约数（Greatest Common Divisor）。它使用欧几里得算法，通过不断将较大数替换为两数相除的余数，直到余数为(0)，此时的除数就是最大公约数。lcm函数用于计算两个数的最小公倍数。根据数学公式(lcm(a,b)=\frac{a\times b}{gcd(a,b)})，先求出最大公约数，再计算最小公倍数。count_multiples函数用于计算在区间([l,r])内是某个数(x)的倍数的数的个数。solution函数综合运用了上述函数，按照容斥原理计算出最终结果。
二、解释（这个问题较抽象，但可以简单示意容斥原理）
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单独计算倍数个数
- 假设我们有三个集合(A)（(a)的倍数）、(B)（(b)的倍数）、(C)（(c)的倍数）。开始时，我们分别计算(|A|)、(|B|)、(|C|)，这里(|A|)就相当于(count_multiples(a))，以此类推。
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重复部分的处理
- 然后我们发现(A\cap B)（既是(a)又是(b)的倍数）、(A\cap C)、(B\cap C)这些部分被重复计算了，所以要从总数中减去(|A\cap B|)（即(count_multiples(lcm(a,b)))）、(|A\cap C|)、(|B\cap C|)。
- 但是在减去这些部分的时候，(A\cap B\cap C)（既是(a)、(b)又是(c)的倍数）被多减了一次，所以最后要加上(|A\cap B\cap C|)（即(count_multiples(lcm(a,b,c)))）。
三、代码详解
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gcd函数- 这个函数实现了计算两个整数(a)和(b)的最大公约数的功能。
- 例如，当(a = 12)，(b = 18)时，开始时(a = 12)，(b = 18)，进入循环，因为(b\neq0)，执行(a,b = b,a%b)，此时(a = 18)，(b = 12%18 = 12)。下一次循环，(a = 12)，(b = 18%12 = 6)，再下一次循环，(a = 6)，(b = 12%6 = 0)，此时循环结束，返回(a = 6)，也就是(12)和(18)的最大公约数。
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lcm函数- 它接受两个整数(a)和(b)，并根据公式(lcm(a,b)=\frac{a\times b}{gcd(a,b)})计算它们的最小公倍数。例如，当(a = 4)，(b = 6)时，首先调用(gcd(4,6))得到(2)，然后(lcm(4,6)=\frac{4\times6}{2}=12)。
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count_multiples函数- 这个函数接受一个整数(x)，用于计算在区间([l,r])内是(x)的倍数的数的个数。例如，当(x = 3)，(l = 1)，(r = 10)时，(r//x = 10//3 = 3)，((l - 1)//x=(1 - 1)//3 = 0)，所以返回(3-0 = 3)，即(1)到(10)之间(3)的倍数有(3)个（(3)、(6)、(9)）。
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solution函数- 首先，它计算(lcm(a,b))、(lcm(a,c))、(lcm(b,c))和(lcm(lcm(a,b),c))，这些都是为了后续根据容斥原理计算做准备。
- 然后，它按照容斥原理计算总数。先将是(a)、(b)、(c)的倍数的数的个数相加，再减去既是(a)和(b)的倍数、既是(a)和(c)的倍数、既是(b)和(c)的倍数的数的个数，最后加上既是(a)、(b)又是(c)的倍数的数的个数。
- 在
if __name__ =="__main__"部分，通过一些测试用例来验证solution函数的正确性。例如，当(a = 2)，(b = 3)，(c = 4)，(l = 1)，(r = 10)时，调用solution函数应该得到正确的结果，并且通过print(solution(2,3,4,1,10)==7)来验证结果是否为(7)。同样地，对于其他测试用例也进行了类似的验证。
