题目描述
在猫星球上，小R负责给一行排队的猫分发鱼干。每只猫有一个等级，等级越高的猫应该得到更多的鱼干。 规则如下：
- 每只猫至少得到一斤鱼干。
- 如果一只猫的等级高于它相邻的猫，它就应该得到比相邻的猫更多的鱼干。
小R想知道，为了公平地满足所有猫的等级差异，他至少需要准备多少斤鱼干。
测试样例
样例1：
输入：n = 3, cats_levels = [1, 2, 2]
输出：4
样例2：
输入：n = 6, cats_levels = [6, 5, 4, 3, 2, 16]
输出：17
样例3：
输入：n = 20, cats_levels = [1, 2, 2, 3, 3, 20, 1, 2, 3, 3, 2, 1, 5, 6, 6, 5, 5, 7, 7, 4]
输出：35
题目分析
此问题是典型的 分发问题，具有局部规则约束：
- 每只猫至少得到一斤鱼干。
- 等级更高的猫比其相邻等级低的猫获得更多的鱼干。
解决思路解析
贪心法
对于这道题目而言，必须得先确定好其中一边，之后再去确定另一边才行。比如说，可以先去比较每一只猫的左边情况，然后再来比较右边的情况。要是同时对两边进行考虑的话，那必然会出现顾此失彼的状况。
我们不妨先确定右边猫的等级大于左边的这种情况（具体做法就是从左向右进行遍历）。
在这种情形下，存在着局部最优的情况：只要右边猫的等级比左边猫的等级要高，那么右边的猫就能够再多获得一斤鱼干；而从全局最优的角度来看：在相邻的猫当中，等级较高的右猫所获得的鱼干数量要比左猫更多。 通过这样的局部最优情况，是能够推导出全局最优情况的。
利用两次遍历（从左向右和从右向左），在每次遍历中根据等级递增规则调整每只猫的鱼干数量：
- 从左向右遍历：确保每只猫的鱼干数量大于其左侧猫（如果它的等级更高）。
- 从右向左遍历：确保每只猫的鱼干数量大于其右侧猫（如果它的等级更高）。
- 两次遍历结束后，将每只猫的鱼干取最大值，最终得到最小满足条件的总鱼干数。
代码实现
public static int solution(int n, List<Integer> cats_levels) {
if (n == 0 || cats_levels == null || cats_levels.size() == 0) return 0;
int[] fish = new int[n];
// 每只猫至少得到1斤鱼干
for (int i = 0; i < n; i ++) {
fish[i] = 1;
}
// 从左向右遍历
for (int i = 1; i < n; i ++) {
if (cats_levels.get(i) > cats_levels.get(i - 1)) {
fish[i] = fish[i - 1] + 1;
}
}
// 从右向左遍历
for (int i = n - 2; i >= 0; i --) {
if (cats_levels.get(i) > cats_levels.get(i + 1)) {
fish[i] = Math.max(fish[i], fish[i + 1] + 1);
}
}
// 计算总和
int res = 0;
for (int f : fish) {
res += f;
}
return res;
}
时间复杂度： 需要正序和逆序各遍历一次数组，时间复杂度为 O(n)。
空间复杂度： 使用了额外的数组存储每只猫的鱼干数量，空间复杂度为 O(n)。
学习心得
贪心算法一般分为如下四步：
- 将问题分解为若干个子问题
- 找出适合的贪心策略
- 求解每一个子问题的最优解
- 将局部最优解堆叠成全局最优解
知识点延伸
- 贪心法：在满足局部最优的基础上，逐步构建全局最优解。
- 面试应用：此类题目广泛应用于资源分配问题，常见于编程面试中。
- 进一步扩展：可以研究当问题中加入更多约束（如鱼干总量限制）时的解决方案，例如使用二分查找或基于优先队列的贪心算法。
