环状DNA序列的最小表示法 ｜ 豆包MarsCode AI 刷题

问题分析

1. 环状序列的表示

环状序列的表示可以通过将序列复制并拼接自身来实现。例如，序列 ATCA 可以表示为 ATCAATCA。这样，我们可以通过从任意位置开始读取 n 个字符来得到所有可能的环状表示。

2. 字典序最小表示

字典序最小表示是指在所有可能的表示中，按照字典序（即字母顺序）最小的那个表示。为了找到这个最小表示，我们需要生成所有可能的表示，并逐一比较它们。

解题思路

1. 生成所有可能的表示

我们可以通过两层循环来生成所有可能的表示。外层循环控制起始位置，内层循环生成从该起始位置开始的 n 个字符的序列。

2. 比较字典序

生成所有可能的表示后，我们需要逐一比较它们，找到字典序最小的那个。

代码详解

以下是实现上述思路的 Python 代码：

def solution(dna_sequence):
    n = len(dna_sequence)
    st = []
    
    # 生成所有可能的环状表示
    for i in range(n):
        curSt = ""
        for j in range(n):
            curSt += dna_sequence[(i + j) % n]
        st.append(curSt)
    
    # 找到字典序最小的表示
    minSt = st[0]
    for s in st:
        if s < minSt:
            minSt = s
    
    return minSt

if __name__ == "__main__":
    # 测试样例
    print(solution("ATCA") == "AATC")
    print(solution("CGAGTC") == "AGTCCG")
    print(solution("TTGAC") == "ACTTG")

代码解释

1. 生成所有可能的环状表示：

   • 外层循环 for i in range(n) 控制起始位置。
   • 内层循环 for j in range(n) 生成从起始位置 i 开始的 n 个字符的序列。
   • curSt += dna_sequence[(i + j) % n] 通过取模运算确保索引不越界。

2. 比较字典序：

   • 初始化 minSt 为第一个表示 st[0]。
   • 遍历 st 列表，如果当前表示 s 比 minSt 小，则更新 minSt。

时间复杂度分析

该算法的时间复杂度为 O(n^2)，其中 n 是 DNA 序列的长度。这是因为我们需要生成所有可能的表示（O(n^2)），并逐一比较它们（O(n)）。

优化思路

虽然当前的算法已经可以解决问题，但时间复杂度较高。我们可以考虑使用更高效的算法来进一步优化。例如，可以使用 KMP 算法或后缀数组来减少比较次数，从而降低时间复杂度。

个人思考与分析

在解决这个问题时，我们首先需要理解环状序列的特性，即可以从任意位置开始读取序列。这种特性使得我们需要考虑所有可能的表示。通过生成所有可能的表示并逐一比较，我们可以找到字典序最小的表示。

然而，生成所有可能的表示并逐一比较的时间复杂度较高，尤其是在序列长度较大时。因此，我们可以考虑使用更高效的算法来优化这个问题。例如，可以使用后缀数组来快速找到字典序最小的表示，从而将时间复杂度降低到 O(n log n)。

此外，我们还可以考虑使用动态规划的思想来进一步优化。通过记录已经比较过的子序列，我们可以避免重复比较，从而提高算法的效率。