问题描述
小R住在一个名为 X 国的国家，这里的货币非常特殊，面值为 V0,V1,V2,...,VnV0,V1,V2,...,V**n，并且 nn 可以无限大。该国的交易规则也很特别：在一次交易中，双方只能对每种面值的货币使用不超过两次。
例如，小R想买一件价格为 198 的物品，货币的基数 V=10V=10 时，小R可以使用 2 张 100 的纸币，卖家则找回 2 张 1的纸币。由于这个奇怪的规则，很多 X 国人都无法快速判断某个物品是否可以用这种方式交易成功，他们常常会请聪明的你来帮助。
你能帮他们判断一下，是否能按照规则用给定的货币面值 V来完成价格为 W的交易吗？
可以使用 动态规划 来优化解决这个问题。动态规划的核心思想是：通过状态转移来减少重复计算。
以下是优化思路：
状态定义
- 用一个布尔数组
dp表示：金额 jjj 是否可以通过合法支付方式（每种面值最多使用 2 次）构造出来。 - 初始化：
dp[0] = True（金额 0 一定可以构造）。 - 转移公式：对于每个面值 ViV^iVi，尝试使用 0、1 或 2 次更新
dp。
转移过程
-
对于每个面值
V^i：
- 从金额 W开始向下更新
dp，避免重复计算。 - 使用该面值 0、1、2 次尝试更新
dp。
- 从金额 W开始向下更新
最终判断
- 如果支付金额 P≥W满足
dp[P]，并且找零金额 P−W也能通过合法组合构造，则输出YES。
以下是优化后的实现：
优化后的代码测试结果如下：
- 样例 1：输入 V=10,W=9V = 10, W = 9V=10,W=9，输出：
YES - 样例 2：输入 V=200,W=40199V = 200, W = 40199V=200,W=40199，输出：
YES - 样例 3：输入 V=108,W=50V = 108, W = 50V=108,W=50，输出：
NO
dp的一种，稍微一变就感觉想不出来了，关键在于从后往前让一个货币面值最多用两次，而且最后要检验找零的合理性。
def solution(V, W):
if V == 1:
return "YES"
# 计算可能用到的最大金额（买方最多支付两倍W）
max_exponent = 0
while V**max_exponent <= W * 2:
max_exponent += 1
# 所有可能的面值
denominations = [V**i for i in range(max_exponent)]
# 动态规划数组，表示是否能组合出金额 j
dp = [False] * (W * 2 + 1)
dp[0] = True # 金额 0 可以用 0 张货币构造
# 更新 dp 表
for d in denominations:
for j in range(W * 2, d - 1, -1): # 从大到小遍历
if dp[j - d]:
dp[j] = True # 使用 1 张 d
if j >= 2 * d and dp[j - 2 * d]:
dp[j] = True # 使用 2 张 d
# 检查支付和找零的合法性
for P in range(W, W * 2 + 1): # 支付金额至少是 W
if dp[P] and dp[P - W]:
return "YES"
return "NO"
