P整数生成问题｜豆包MarsCode AI 刷题问题描述小S正在玩一个数字游戏，游戏中要求生成所有小于或等于 m

问题描述

小S正在玩一个数字游戏，游戏中要求生成所有小于或等于 m 的 P整数。一个整数如果可以表示为 x^i + y^j，其中 i >= 0 且 j >= 0，我们称之为强整数。请帮小S找到所有满足条件的强整数，并将结果从小到大返回，每个值最多出现一次。

问题理解

题目要求我们生成所有小于或等于 m 的 P整数。一个整数如果可以表示为 x^i + y^j，其中 i >= 0 且 j >= 0，我们称之为强整数。我们需要找到所有满足条件的强整数，并将结果从小到大返回，每个值最多出现一次。

数据结构的选择

为了确保每个强整数只出现一次，我们可以使用 set 数据结构来存储这些整数。set 具有自动去重的特性，非常适合用于存储不重复的元素。最后，我们将 set 转换为 list 并进行排序，以满足题目要求的输出格式。

算法步骤

初始化数据结构：
- 创建一个 set 来存储强整数。
计算幂次：
- 使用两个嵌套的 while 循环来计算 x^i 和 y^j 的所有可能组合。
- 外层循环用于计算 x^i，内层循环用于计算 y^j。
- 在每次内层循环中，计算 x^i + y^j，并检查其是否小于或等于 m。
- 如果满足条件，将结果添加到 set 中。
处理特殊情况：
- 当 x 或 y 为 1 时，幂次的结果始终为 1，因此需要特殊处理以避免无限循环。
- 当 x 为 1 时，只需计算一次 x^i，因为 1^i 始终为 1。
- 当 y 为 1 时，只需计算一次 y^j，因为 1^j 始终为 1。
排序并返回结果：
- 将 set 转换为 list，并使用 sorted 函数对其进行排序。
- 返回排序后的 list。

复杂度分析

时间复杂度：
- 外层循环的次数取决于 x 的幂次，最坏情况下为 log_x(m)。
- 内层循环的次数取决于 y 的幂次，最坏情况下为 log_y(m)。
- 因此，总的时间复杂度为 O(log_x(m) * log_y(m))。
空间复杂度：
- 主要的空间开销来自于存储强整数的 set，最坏情况下为 O(m)。

优化思路

提前终止：
- 在计算 x^i 和 y^j 时，如果发现 x^i 或 y^j 已经大于 m，可以提前终止循环，减少不必要的计算。
剪枝：
- 在计算 x^i + y^j 时，如果发现 x^i + y^j 已经大于 m，可以提前终止内层循环，减少不必要的计算。

    strong_integers = set()
    
    # 计算 x 的所有幂次
    i = 0
    while (x**i) <= m:
        # 计算 y 的所有幂次
        j = 0
        while (x**i + y**j) <= m:
            strong_integers.add(x**i + y**j)
            j += 1
            if y == 1:  # 防止 y=1 的死循环
                break
        i += 1
        if x == 1:  # 只需计算一次，因为 1 的幂总是 1
            break
 
    return sorted(strong_integers)
 
if __name__ == '__main__':
    print(solution(x=2, y=3, m=10) == [2, 3, 4, 5, 7, 9, 10])
    print(solution(x=3, y=5, m=15) == [2, 4, 6, 8, 10, 14])
    print(solution(x=2, y=1, m=20) == [2, 3, 5, 9, 17])
    print(solution(x=1, y=1, m=10) == [2])  # 示例测试

总结

通过使用 set 来存储强整数，我们可以确保每个整数只出现一次。通过嵌套的 while 循环，我们可以计算出所有可能的 x^i + y^j 组合，并检查其是否满足条件。最后，我们将结果排序并返回。通过合理处理特殊情况和优化循环条件，我们可以提高算法的效率。

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