binary search lower/upper bound二分查找是一个非常重要的算法技巧，常用于有序数组或范围

二分查找是一个非常重要的算法技巧，常用于 有序数组 或范围内的搜索。对于 lower bound 和 upper bound，它们分别对应找到目标值的第一个位置和最后一个位置（或者一个范围之外的位置）。

基本定义

Lower Bound:
- 找到数组中 第一个大于等于目标值 的元素位置。
- 如果目标值存在，就是目标值的第一个位置；如果不存在，就是插入点的位置。
Upper Bound:
- 找到数组中 第一个大于目标值 的元素位置。
- 如果目标值存在，它指向目标值的最后一个位置的下一位；如果不存在，也是插入点的位置。

示例问题

给定有序数组 nums = [1, 3, 3, 5, 7] 和目标值 target = 3：

Lower Bound: 应返回索引 1（第一个 3 的位置）。
Upper Bound: 应返回索引 3（第一个大于 3 的位置，即 5）。

实现代码

Lower Bound (第一个大于等于目标值的位置)

int lowerBound(vector<int>& nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.size(); // [left, right)
    while (left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1; // 排除小于 target 的部分
        } else {
            right = mid; // 包含 >= target 的部分
        }
    }
    return left; // 此时 left == right
}

Upper Bound (第一个大于目标值的位置)

int upperBound(vector<int>& nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.size(); // [left, right)
    while (left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] <= target) {
            left = mid + 1; // 排除 <= target 的部分
        } else {
            right = mid; // 包含 > target 的部分
        }
    }
    return left; // 此时 left == right
}

标准库 `std::lower_bound` 和 `std::upper_bound`

C++ STL 中提供了这两个功能，定义在 <algorithm> 中。

使用方法

#include <algorithm>
#include <vector>
#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    vector<int> nums = {1, 3, 3, 5, 7};
    int target = 3;

    // Lower Bound
    int lb = lower_bound(nums.begin(), nums.end(), target) - nums.begin();
    cout << "Lower Bound: " << lb << endl; // 输出 1

    // Upper Bound
    int ub = upper_bound(nums.begin(), nums.end(), target) - nums.begin();
    cout << "Upper Bound: " << ub << endl; // 输出 3

    return 0;
}

注意

std::lower_bound 返回的是第一个大于等于 target 的迭代器。如果所有元素都小于 target，upper_bound 会返回 nums.end() 。
std::upper_bound 返回的是第一个大于 target 的迭代器。所有元素都小于 target，返回nums.end()。

比较 Lower Bound 和 Upper Bound

类型	目标	返回值
`lower_bound`	`>= target`	第一个大于等于目标值的位置。
`upper_bound`	`> target`	第一个严格大于目标值的位置。

应用场景

查找范围：

找出所有等于 target 的元素。
范围是 [lower_bound, upper_bound)。

auto start = lower_bound(nums.begin(), nums.end(), target);
auto end = upper_bound(nums.begin(), nums.end(), target);
cout << "Count: " << end - start << endl; // 范围内元素个数

插入位置：
- lower_bound 可用于找插入位置，使数组仍然有序。
搜索问题：
- 在某些区间问题中使用 upper_bound 或 lower_bound 来缩小范围。

总结

lower_bound 和 upper_bound 的核心在于二分查找。
lower_bound 寻找第一个大于等于目标值的位置，upper_bound 寻找第一个大于目标值的位置。
二者结合，可以快速解决范围查询或有序插入问题。

以下是一些与 二分查找、lower bound 和 upper bound 相关的经典 LeetCode 题目。这些题目中，有的直接用到了 lower_bound 或 upper_bound 的思想，有的则是二分查找的变种应用。

经典二分查找类问题

1. 704. Binary Search

描述: 在一个有序数组中找到目标值，返回其索引。如果不存在，返回 -1。
关键词: 基本的二分查找。
LeetCode 704

2. 35. Search Insert Position

描述: 找到目标值在数组中的插入位置。如果目标值存在，返回其索引；否则返回插入点。
关键词: lower_bound 应用。
LeetCode 35

3. 34. Find First and Last Position of Element in Sorted Array

描述: 找到目标值在数组中的起始和结束位置。如果不存在，返回 [-1, -1]。
关键词: lower_bound 和 upper_bound 的结合应用。
LeetCode 34

meta vo 变种题

sorted array 中，是否有超过 n/3 的数

for(int i = 0; i < nums.size(); i+= n/3){
  //用upper_bound, lower_bound 检查是否超过n/3 超过 返回true 否则 返回false
}

4. 2363. Merge Similar Items（Bloomberg VO）

描述: 合并两个包含键值对的数组，将权重相加，并按键值升序返回结果。
关键词: 哈希表存储合并权重，排序生成结果。
LeetCode 2363

5. 69. Sqrt(x)

描述: 实现整数平方根函数，返回小于等于平方根的最大整数值。
关键词: 二分查找在数学问题中的应用。
LeetCode 69

6. 374. Guess Number Higher or Lower

描述: 猜数字游戏，目标是通过调用 API 找到目标值。
关键词: 基础二分查找。
LeetCode 374

高级二分查找及其变种

7. 162. Find Peak Element

描述: 找到一个峰值元素，峰值满足 nums[i] > nums[i-1] 且 nums[i] > nums[i+1]。
关键词: 二分查找的条件变化。
LeetCode 162

8. 153. Find Minimum in Rotated Sorted Array

描述: 在旋转排序数组中找到最小值。
关键词: 二分查找在旋转数组中的应用。
LeetCode 153

9. 154. Find Minimum in Rotated Sorted Array II

描述: 在旋转排序数组中找到最小值，数组中允许存在重复值。
关键词: 二分查找处理边界条件。
LeetCode 154

10. 33. Search in Rotated Sorted Array

描述: 在旋转排序数组中找到目标值，返回其索引。如果不存在，返回 -1。
关键词: 二分查找处理旋转。
LeetCode 33

11. 658. Find K Closest Elements

描述: 在数组中找到与目标值最接近的 k 个元素，返回排序后的结果。
关键词: 二分查找范围。
LeetCode 658

数学与区间问题结合的二分查找

11. 410. Split Array Largest Sum

描述: 将数组分成 m 段，使得段内和的最大值最小化。
关键词: 二分查找 + 贪心。
LeetCode 410

12. 287. Find the Duplicate Number

描述: 在一个范围为 [1, n] 的数组中找到重复的数字。
关键词: 二分查找用于抽象范围，而非数组本身。
LeetCode 287

13. 378. Kth Smallest Element in a Sorted Matrix

描述: 找到排序矩阵中的第 k 小元素。
关键词: 二分查找范围。
LeetCode 378

14. 302. Smallest Rectangle Enclosing Black Pixels

描述: 在二维数组中找到包含所有黑色像素的最小矩形。
关键词: 二分查找在二维范围的应用。
LeetCode 302

总结

基础二分查找问题：例如 704 和 35，专注于实现标准的二分查找。
lower_bound 和 upper_bound 问题：例如 34 和 35，处理范围和插入点问题。
高级应用：例如旋转数组和峰值问题，考察对条件的灵活处理。
范围缩小问题：例如 410 和 287，将数组的二分思想扩展到值或区间。

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