DNA序列编辑距离|豆包MarsCode AI刷题

问题描述

小R正在研究DNA序列，他需要一个函数来计算将一个受损DNA序列（dna1）转换成一个未受损序列（dna2）所需的最少编辑步骤。编辑步骤包括：增加一个碱基、删除一个碱基或替换一个碱基。

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测试样例

样例1：

输入：dna1 = "AGT",dna2 = "AGCT"
输出：1

样例2：

输入：dna1 = "AACCGGTT",dna2 = "AACCTTGG"
输出：4

样例3：

输入：dna1 = "ACGT",dna2 = "TGC"
输出：3

题目解析：

此问题本质是一个经典的编辑距离问题。

定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示将 dna1 的前 i 个字符转换为 dna2 的前 j 个字符所需的最少编辑步骤。

对于每个位置，可以选择：

1. 增加：使得 dna1 增加一个字符。
2. 删除：使得 dna1 删除一个字符。
3. 替换：替换掉当前的字符。

思路分析：

动态规划状态转移

1. 边界条件：

• 如果 dna1 为空，只能通过增加操作将其变为 dna2，所需步数为 len(dna2)。
• 如果 dna2 为空，只能通过删除操作将 dna1 清空，所需步数为 len(dna1)。

2. 状态转移方程：

• 如果 dna1[i-1] == dna2[j-1]（当前字符相等）： dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
• 如果 dna1[i-1] != dna2[j-1]（当前字符不相等）： dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1] + 1, dp[i-1][j] + 1, dp[i][j-1] + 1)
  其中：
  dp[i-1][j-1] + 1 表示替换。
  dp[i-1][j] + 1 表示删除。
  dp[i][j-1] + 1 表示增加。

解决方案：

代码实现：

def solution(dna1, dna2):
    # 获取两段 DNA 序列的长度
    n, m = len(dna1), len(dna2)
    
    # 初始化 DP 表
    dp = [[0] * (m + 1) for _ in range(n + 1)]
    
    # 边界条件
    for i in range(n + 1):
        dp[i][0] = i  # 删除操作
    for j in range(m + 1):
        dp[0][j] = j  # 增加操作
    
    # 状态转移
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, m + 1):
            if dna1[i - 1] == dna2[j - 1]:  # 如果当前字符相等
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
            else:  # 否则，取三种操作的最小值
                dp[i][j] = min(
                    dp[i - 1][j - 1] + 1,  # 替换
                    dp[i - 1][j] + 1,      # 删除
                    dp[i][j - 1] + 1       # 增加
                )
    
    # 返回最终结果
    return dp[n][m]

代码解释：

1. 输入处理：

   • 通过 len(dna1) 和 len(dna2) 获取 DNA 序列长度。
   • 初始化一个大小为 (n+1) x (m+1) 的二维数组 dp，存储每个子问题的结果。

2. 边界初始化：

   • dp[i][0] = i 表示将 dna1 的前 i 个字符清空所需的删除次数。
   • dp[0][j] = j 表示将空串扩展为 dna2 的前 j 个字符所需的增加次数。

3. 动态规划计算：

   • 遍历所有可能的子问题，通过状态转移方程更新 dp[i][j]。
   • 确保选择替换、增加或删除中的最小值。

4. 返回结果：

   • dp[n][m] 即为将整个 dna1 转换为 dna2 所需的最少编辑步骤。

示例测试：

1. 样例1：

   print(solution("AGCCGAGC", "GCTAGCT")) # 输出 4
   

2. 样例2：

   print(solution("AGCTTAGC", "AGCTAGCT"))# 输出 2
   

时间复杂度：

• 状态转移需要遍历每对字符组合：$O(mn)$，其中$n$和$m$是两个 DNA 序列的长度。

空间复杂度：

• 存储二维数组：$O(mn)$。

总结

该算法通过动态规划解决了编辑距离问题：

1. 优势：时间和空间复杂度适中，适合处理中等规模的 DNA 序列。

2. 扩展性：可以通过压缩 DP 表降维，进一步优化空间复杂度。