172.小C的数组构造问题题解小C的数组构造问题题解一个通过动态规划完成的计数问题，较为简单。 tag：动态规划，

题目描述

小C拿到一个数组 a，她准备构造一个新的数组 b，并需要满足以下条件：

数组 b 中的每一位都与数组 a 对应位置的元素不同，即 $b_i != a_i$ 。
数组 b 的所有元素之和等于数组 a 的所有元素之和。
数组 b 的所有元素必须是正整数。

请计算有多少种构造数组 b 的方式，答案需要对 10^9+7 取模。

解题思路

1. 问题理解

首先，我们需要理解题目的要求：

数组 b 的每个元素必须与数组 a 的对应元素不同。
数组 b 的元素之和必须等于数组 a 的元素之和。
数组 b 的元素必须是正整数。

2. 数据结构选择

为了高效地解决这个问题，我们可以使用动态规划（Dynamic Programming）。动态规划是一种通过将问题分解为子问题并存储子问题的解来解决复杂问题的方法。

3. 动态规划状态定义

我们定义一个二维数组 f[j][k]，其中：

j 表示当前的总和。
k 表示当前正在处理的数组 a 的第 k 个元素。

f[j][k] 表示在总和为 j 的情况下，使用前 k 个元素构造数组 b 的方式数。

4. 状态转移方程

为了构造数组 b，我们需要确保每个元素都与数组 a 的对应元素不同，并且总和保持不变。我们可以通过以下步骤进行状态转移：

初始化：f[0][1] = 1，表示总和为 0 时有一种方式（即什么都不选）。
对于每个元素 a[i]，我们遍历所有可能的总和 j，并尝试添加一个不同的正整数 k。
如果 k 与 a[i] 相同，则跳过这个 k。
更新状态 f[j + k][now]，其中 now 和 now ^ 1 用于交替更新当前和前一个状态。

5. 边界条件

初始状态：f[0][1] = 1。
最终状态：f[sum][now ^ 1]，其中 sum 是数组 a 的元素总和。

6. 时间复杂度分析

动态规划的时间复杂度为 O(n * sum^2)，其中 n 是数组 a 的长度，sum 是数组 a 的元素总和。由于 sum 可能很大，因此我们需要对结果取模 10^9+7。

代码实现思路

计算数组 a 的元素总和 sum。
初始化动态规划数组 f，并将所有状态初始化为 0。
使用双重循环遍历数组 a 的每个元素，并更新动态规划状态。
返回最终状态 f[sum][now ^ 1]。

CODE

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int f[100005 + 1][2] = {};

int solution(int n, vector<int> a) {
  int sum = 0;
  for (int i = 0; i < n; i++)
    sum += a[i];
  int mod = 1e9 + 7;
  for (int j = 0; j <= sum; j++)
    f[j][1] = 0;
  f[0][1] = 1;
  int now = 0;
  for (int i = 0; i < n; i++) {
    for (int j = 0; j <= sum; j++)
      f[j][now] = 0;
    for (int j = 0; j <= sum; j++)
      for (int k = 1; k <= sum; k++) {
        if (j + k > sum)
          break;
        if (k == a[i])
          continue;
        f[j + k][now] = (f[j][now ^ 1] + f[j + k][now]) % mod;
      }
    now ^= 1;
  }
  return f[sum][now ^ 1];
}

int main() {
  cout << (solution(3, {1, 1, 3}) == 1) << endl;
  cout << (solution(3, {1, 1, 1}) == 0) << endl;
  cout << (solution(2, {2, 3}) == 3) << endl;
  cout << (solution(15, {10, 15, 3, 5, 1, 7, 2, 5, 14, 6, 3, 5, 12, 17, 1}) ==
           528284345)
       << endl;
  return 0;
}

AI优势

可以通过我的代码写出文字题解，方便水blog。

ps.能不能给个数据范围，困难题这种复杂度居然都能过。。

172.小C的数组构造问题 题解