青训营笔记之及格的组合方式探索 | 豆包MarsCode AI刷题

问题描述

小S在学校选择了3门必修课和n门选修课程来响应全面发展的教育政策。现在期末考核即将到来，小S想知道他所有课程的成绩有多少种组合方式能使他及格。及格的条件是所有课程的平均分不低于60分。每门课程的成绩是由20道选择题决定，每题5分，答对得分，答错不得分。为了计算方便，你需要将结果对202220222022取模。

测试样例

样例1：

输入：n = 3
输出：'19195617'

样例2：

输入：n = 6
输出：'135464411082'

样例3：

输入：n = 49
输出：'174899025576'

样例4：

输入：n = 201
输出：'34269227409'

样例5：

输入：n = 888
输出：'194187156114'

解题思路

可使用动态规划来解决这个问题，定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示前 i 门课程总分为 j 的组合数。初始状态 dp[0][0] = 1，表示0门课程总分为0的组合数为1。然后，通过三重循环进行状态转移：外层循环遍历每一门课程 i，中间循环遍历所有可能的总分 j，内层循环遍历当前课程的所有可能分数 k（步长为5），更新 dp[i][j]。最后遍历所有满足平均分不低于60分的总分 j，累加 dp[totalCourses][j] 到 result，并对 MOD 取模，即可得到结果。

算法步骤

1. 初始化：

   • 首先，定义了一个常量 MOD，用于对结果取模。
   • 计算总课程数 totalCourses，即 n + 3。
   • 计算最大可能的总分 maxScore，即 100 * totalCourses。
   • 初始化一个二维数组 dp，大小为 (totalCourses + 1) * (maxScore + 1)，初始值为0。
   • dp[0][0] = 1，表示0门课程总分为0的组合数为1。

2. 状态转移：

   • 对于每一门课程 i（从1到 totalCourses），遍历所有可能的总分 j（从0到 maxScore）。
   • 对于每个总分 j，遍历所有可能的当前课程分数 k（从0到100，步长为5），更新 dp[i][j]。
   • 具体更新方式为：dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i - 1][j - k]) % MOD，表示当前课程得分为 k 时，前 i-1 门课程总分为 j-k 的组合数。

3. 结果计算：

   • 计算所有满足平均分不低于60分的组合数。
   • 遍历所有可能的总分 j（从 60 * totalCourses 到 maxScore，步长为5），累加 dp[totalCourses][j] 到 result。
   • 最终结果对 MOD 取模，并返回结果。

代码实现

public class Main {
    public static String solution(int n) {
        long MOD = 202220222022L;
        int totalCourses = n + 3;
        int maxScore = 100 * totalCourses;
        
        // 初始化dp数组
        long[][] dp = new long[totalCourses + 1][maxScore + 1];
        dp[0][0] = 1;
        
        // 状态转移
        for (int i = 1; i <= totalCourses; i++) {
            for (int j = 0; j <= maxScore; j+=5) {
                for (int k = 0; k <= 100; k = k + 5) {
                    if (j >= k) {
                        dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i - 1][j - k]) % MOD;
                    }
                }
            }
        }
        
        // 计算结果
        long result = 0;
        for (int j = 60 * totalCourses; j <= maxScore; j = j + 5) {
            result = (result + dp[totalCourses][j]) % MOD;
        }
        
        return String.valueOf(result);
    }

}