数字组合与偶数和问题解析
问题背景
本题是一道颇具挑战性的组合优化问题，要求从给定的多个数字组中，选择一个数字组合成新的数字，并满足特定的数学条件：新数字的各位数字之和必须为偶数。这个问题不仅考验编程技巧，还需要深入理解递归和组合算法的精髓。
问题分析
题目的核心挑战在于：
- 从多个数字组中，每组选择一个数字
- 组合这些数字成为一个完整的数字
- 计算这个数字各位数字之和
- 判断是否为偶数
- 统计并去重符合条件的数字数量
与传统的组合问题相比，本题增加了数字和的约束条件，使得问题更加复杂。
算法设计
经过深入分析，我们选择使用深度优先搜索（DFS）递归方法来解决这个问题。算法的核心思路如下：
-
预处理输入数据：将整数转换为字符串，便于后续遍历
-
设计递归函数，实现以下功能：
- 遍历每个数字组
- 从每个数字组选择一个数字
- 逐步构建完整数字
-
在递归的终止条件（遍历完所有数字组）时：
- 计算当前数字的各位数字和
- 判断是否为偶数
- 将符合条件的数字加入结果集
-
使用set去重，确保结果的唯一性
#include <iostream>
#include <set>
#include <string>
#include <vector>
std::set<int> valid_numbers;
void dfs(const std::vector<std::string> &str_numbers, size_t index,
std::string current) {
// 如果已处理所有数字组
if (index == str_numbers.size()) {
// 转换为整数并计算数字和
if (!current.empty()) {
int num = std::stoi(current);
int digit_sum = 0;
for (char c : current) {
digit_sum += c - '0';
}
// 偶数和则加入结果集
if (digit_sum % 2 == 0) {
valid_numbers.insert(num);
}
}
return;
}
// 遍历当前数字组的每一位
for (char c : str_numbers[index]) {
dfs(str_numbers, index + 1, current + c);
}
}
int solution(std::vector<int> numbers) {
// 转换输入数字为字符串数组
std::vector<std::string> str_numbers;
for (int num : numbers) {
str_numbers.push_back(std::to_string(num));
}
// 清空上一次的结果集
valid_numbers.clear();
// 开始递归
dfs(str_numbers, 0, "");
// 返回结果数量
return valid_numbers.size();
}
代码实现关键点
- 采用类封装递归方法，提高代码的结构性
- 递归函数
dfs负责深度优先搜索和数字组合 - 通过字符串拼接构建新数字，避免复杂的数学运算
- 使用
set自动去重，简化处理逻辑
复杂度分析
时间复杂度
- O(m^n)，其中m是每个数字组的平均长度，n是数字组的数量
- 每个数字组都需要遍历，形成指数级复杂度
空间复杂度
- O(m^n)，用于存储所有符合条件的数字组合
- 递归调用栈和结果集都会占用空间
算法优势
- 代码简洁明了
- 处理灵活，适用于不同长度和数量的数字组
- 通过递归实现复杂的组合逻辑
- 使用标准库工具简化实现
潜在改进方向
- 对于大规模输入，可以考虑剪枝优化
- 可以预估可能的最大组合数，提前设置上限
- 使用更高效的去重策略
编程技巧
- 字符串转换很关键，
std::to_string()和std::stoi()是常用工具 - 字符与整数转换技巧：
c - '0' - 递归函数设计要点：明确终止条件和递归逻辑
测试用例思考
题目给出三个测试用例，体现了问题的复杂性：
[123, 456, 789]- 多组数字，需要全面组合[123456789]- 单一长数字，考验算法的适应性[14329, 7568]- 不同长度数字组，验证算法的通用性
