AI 刷题 39. 计算位置 x 到 y 的最少步数 题解 | 豆包MarsCode AI刷题

39. 计算位置 x 到 y 的最少步数

问题描述

给定两个位置 x 和 y，从位置 x 到 y，每一步只能向前走或者向后走，且每一步的步长必须是一个正整数。要求计算从 x 到 y 的最少步数。

思路解析

题目要求第一步必须是 1，并且最后一步也必须是 1。这给我们的解题思路提供了线索：最优的步数安排一定是一个“先上坡再下坡”的过程。

1. 上坡和下坡的规律：

   • 在上下坡的过程中，步长一般是递增的，也就是说从 1 开始，步长逐渐增大，直到某个峰值后开始逐渐减少，直到最后再回到 1。
   • 最优的解通常要求步数达到峰值后，再按照一个最小的步长（即 1）返回。

2. 最优方案：

   • 最理想的情况是可以完美地上下坡，不需要中途补充额外的步数。
   • 如果不能完美下坡，就可以通过增加一次适当的步长来弥补差距。特别是当坡顶的步长不够精确地匹配目标位置时，我们可以通过多走一步来补齐剩余的距离。

3. 如何优化计算：

   • 我们将通过枚举不同的峰值来寻找最小步数。每一个峰值的选择都决定了上坡和下坡的速度。
   • 计算每个峰值下，所能走的最大距离，再根据剩余距离来调整。

解题步骤

1. 计算距离： 首先，我们需要计算从 x 到 y 的距离 dis，即 dis = abs(x_position - y_position)。

2. 枚举峰值： 我们通过一个循环枚举不同的步数峰值 peak。每个 peak 对应一个步长序列，步长从 1 增加到 peak，再从 peak 减少到 1。

   • 对于每个峰值 peak，我们首先计算上坡的最大步数（即峰值所对应的距离）：
   $$distance\_covered = \frac{\text{peak} \times (\text{peak} + 1)}{2}$$
   • 然后计算剩余的距离 diff = dis - distance_covered。

3. 判断和调整步数：

   • 如果剩余的距离 diff 小于 0，说明当前的峰值过大，不可能再增大步长了，返回当前的步数。
   • 如果 diff 大于 0，那么需要补充更多的步数。故计算 diff / peak 来进行判断，如果还有剩余距离，最终需要多走一步。

4. 更新最小步数： 每次计算完一个峰值对应的步数后，我们都会更新最小步数 result。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(dis)。枚举峰值的循环次数大约为 dis，因此时间复杂度是 O(dis)。
• 空间复杂度：O(1)。整个过程中使用的额外空间是固定的，不依赖于输入规模。

Code

import math;

def solution(x_position, y_position):
    dis = abs(x_position - y_position)  # 计算 x 到 y 的距离
    step_count = 0
    result = 2e9
    
    for peak in range(1, dis): # 枚举步数峰值
        # 等差数列求和：首项为 1， 末项为峰值
        # S = peak(1+peak)/2
        # 2S-peak  为走的步数, 即 peak*peak
        # peak*2-1 为走的次数
        diff = dis - peak*peak
        if(diff < 0): # 如果已经走超了，就代表不可能存在更大的峰值
            return step_count
        step_count = peak*2 - 1
        # 按峰值快步前进
        step_count += int(diff / peak) # 记得强制类型转换，下取整
        diff %= peak
        if(diff != 0):
            # 如果步数不够。则需要补充一步补齐
            step_count += 1
        result = min(step_count, result) # 更新最小步数
    return step_count

if __name__ == "__main__":
    #  You can add more test cases here
    print(solution(12, 6) == 4)
    print(solution(34, 45) == 6)
    print(solution(50, 30) == 8)