80. 股票市场交易策略优化题解 | 豆包MarsCode AI刷题

问题解析

我们需要帮助小R计算在遵守股票交易规则的情况下的最大利润。交易规则如下：

1. 可以买多次：允许多次买入和卖出。
2. 必须先卖后买：在买入新的股票之前，必须先卖出之前持有的股票。
3. 冷冻期限制：每次卖出股票后，需要经过一天的冷冻期才能再次购买。

这是一个典型的动态规划问题，问题可以通过状态转移方程来解决。

思路解析

动态规划状态定义

我们需要定义几个状态来描述每天的情况：

1. dp[i][0]：第 i 天不持有股票，且 没有处于冷冻期 的最大利润。
2. dp[i][1]：第 i 天持有股票的最大利润。
3. dp[i][2]：第 i 天不持有股票，且 处于冷冻期 的最大利润。

状态转移方程

根据每种状态的可能操作，我们可以定义以下状态转移方程：

1. dp[i][0]：不持有股票，且不在冷冻期

   • 第 i 天什么都不做，继承前一天 dp[i-1][0]。
   • 第 i 天结束冷冻期，从 dp[i-1][2] 继承。
   • 状态方程： $dp[i][0]=max⁡(dp[i−1][0],dp[i−1][2])$

2. dp[i][1]：持有股票

   • 第 i 天什么都不做，继承前一天 dp[i-1][1]。
   • 第 i 天买入股票，从 dp[i-1][0] 中扣除股票价格。
   • 状态方程： $dp[i][1]=max⁡(dp[i−1][1],dp[i−1][0]−stocks[i])$

3. dp[i][2]：不持有股票，且处于冷冻期

   • 第 i 天卖出股票，从 dp[i-1][1] 中加上股票价格。
   • 状态方程： $dp[i][2]=dp[i−1][1]+stocks[i]dp[i][2]$

dp数组初始化

• 第 0 天：

  • dp[0][0] = 0：未持有股票，且没有交易。
  • dp[0][1] = -stocks[0]：买入第一天的股票。
  • dp[0][2] = 0：不可能在第 0 天处于冷冻期。

最终答案

最终的最大利润是：

$max⁡(dp[n−1][0],dp[n−1][2])$

因为最后一天不可能持有股票时利润最大。

代码实现

def solution(stocks):
    if not stocks:
        return 0

    n = len(stocks)
    dp = [[0] * 3 for _ in range(n)]

    # 初始化
    dp[0][0] = 0
    dp[0][1] = -stocks[0]
    dp[0][2] = 0

    for i in range(1, n):
        # 第 i 天的状态转移
        dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][2])  # 不持有，无冷冻期
        dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - stocks[i])  # 持有股票
        dp[i][2] = dp[i-1][1] + stocks[i]  # 不持有，冷冻期

    # 最终结果
    return max(dp[n-1][0], dp[n-1][2])

复杂度分析

1. 时间复杂度：O(n)。
2. 空间复杂度：O(n)。

如果优化空间，只需记录前一天的状态即可，复杂度为 O(1)。

优化方法

在原版代码中，dp[i][0], dp[i][1], dp[i][2] 的值只与 dp[i-1][...] 有关。因此，可以用滚动变量代替数组，分别记录：

• dp_0：未持有股票，且不在冷冻期。
• dp_1：持有股票。
• dp_2：未持有股票，且处于冷冻期。

通过更新这三个变量的值，实现状态转移。

状态转移解析

状态转移方程

与原版的状态方程一致：

1. 未持有，无冷冻期（dp_0） ：

   $dp_0=max⁡(之前的 dp_0,之前的 dp_2)$

   • 如果今天什么都不做，取昨天未持有且无冷冻期的最大利润（dp_0）。
   • 如果今天结束冷冻期，取昨天冷冻期结束后的利润（dp_2）。

2. 持有股票（dp_1） ：

   $dp_1=max⁡(之前的 dp_1,之前的 dp_0−stocks[i])$

   • 如果今天什么都不做，继承昨天持有股票的利润（dp_1）。
   • 如果今天买入股票，利润为昨天未持有股票（dp_0）减去今天的股票价格。

3. 未持有，冷冻期（dp_2） ：

   $dp_2=之前的 dp_1+stocks[i]$

   • 如果今天卖出股票，利润为昨天持有股票的利润（dp_1）加上今天的股票价格。

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初始化条件

1. 第 0 天未持有股票（无冷冻期）：dp_0 = 0。
2. 第 0 天持有股票：dp_1 = -stocks[0]（因为买入股票）。
3. 第 0 天未持有股票（冷冻期）：dp_2 = 0（不可能处于冷冻期）。

优化版代码

def solution(stocks):
    if not stocks:
        return 0
    # 初始化三个状态
    dp_0, dp_1, dp_2 = 0, -stocks[0], 0
    for i in range(1, len(stocks)):
        new_dp_0 = max(dp_0, dp_2)  # 未持有，无冷冻期
        new_dp_1 = max(dp_1, dp_0 - stocks[i])  # 持有股票
        new_dp_2 = dp_1 + stocks[i]  # 冷冻期

        dp_0, dp_1, dp_2 = new_dp_0, new_dp_1, new_dp_2

    return max(dp_0, dp_2)