青训营X豆包MarsCode 技术训练营刷题技巧（动态规划专题篇六） ｜ 豆包MarsCode AI 刷题

兔群繁殖之谜

题目描述

题目分析

这道题是典型的斐波那契数列问题，描述了一种理想化的兔子繁殖模式

动态规划状态分析

1. 状态定义：

   • 定义 F[i]F[i]F[i] 表示第 iii 个月的兔子总对数。

2. 转移方程：

   F[i]=F[i−1]+F[i−2]F[i] = F[i-1] + F[i-2]F[i]=F[i−1]+F[i−2]

3. 初始化：

   • F[1]=1F[1] = 1F[1]=1
   • F[2]=1F[2] = 1F[2]=1

4. 目标：

   • 计算 F[A]F[A]F[A]，并返回结果。

Python代码

def solution(A):
    # 创建斐波那契数列的数组
    f = [0] * (A + 1)
    
    # 初始化 f[0] 和 f[1]
    f[0], f[1] = 1, 1
    
    # 计算斐波那契数列
    for i in range(2, A + 1):
        f[i] = f[i - 1] + f[i - 2]
    
    return f[A]

if __name__ == "__main__":
    # Add your test cases here
    print(solution(5) == 8)
    print(solution(1) == 1)
    print(solution(15) == 987)
    print(solution(50) == 20365011074)

有限制的楼梯攀登

题目描述

题目分析

这道问题描述的本质是一个约束的动态规划问题,但是多了带约束的路径计数，类似上一篇的旅行补给站问题。

动态规划状态分析

• 状态定义：

  • dp[i] 表示到达第 i 层的方法总数。

• 转移方程：

  • 如果当前层是通过走1步到达，则可以从 dp[i−1]转移过来。
  • 如果当前层是通过走2步到达，则只能从 dp[i−3]转移过来（确保不会连续跳两次2层）。

  因此转移方程为： dp[i]=dp[i−1]+dp[i−3]

• 边界条件：

  • dp[1]=1：第1层只能通过一步到达。
  • dp[2]=2：第2层可以通过两次1步或一次2步到达。
  • dp[3]=3：第3层可以通过三次1步、一次1步+一次2步，或者一次2步+一次1步到达。

• 目标：

  • 求解 dp[n]，即到达第 n 层的方法总数。

Python代码

def solution(n):
    # 初始化 dp 数组，用于存储到达每一级的不同方法数
    dp = [0] * (n + 1)

    # 边界条件
    if n == 1:
        return 1
    elif n == 2:
        return 2
    elif n == 3:
        return 3
    else:
        # 初始化前三项
        dp[0] = 0
        dp[1] = 1
        dp[2] = 2
        dp[3] = 3

        # 从第 4 项开始，使用递推公式计算 dp[i]
        for i in range(4, n + 1):
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 3]
        
        return dp[n]

if __name__ == "__main__":
    # Add your test cases here

    print(solution(2) == 2)