0,1背包最大价值问题

定义状态：

• 使用一个二维数组 dp[i][j]，其中 i 表示前 i 个物品，j 表示当前背包的容量。dp[i][j] 表示在前 i 个物品中选择物品放入容量为 j 的背包中所能获得的最大价值。

状态转移方程：

• 对于每个物品 i，我们有两种选择：

  • 不放入背包：此时 dp[i][j] = dp[i-1][j]，即不选择当前物品，背包的价值与前 i-1 个物品相同。
  • 放入背包：如果当前背包容量 j 大于等于物品 i 的重量 weights[i-1]，则可以选择放入物品 i，此时 dp[i][j] = dp[i-1][j - weights[i-1]] + values[i-1]，即选择当前物品，背包的价值为前 i-1 个物品在容量为 j - weights[i-1] 时的最大价值加上当前物品的价值。

• 最终的状态转移方程为：

  plaintext

  dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - weights[i-1]] + values[i-1])

初始化：

• dp[0][j] 表示没有物品可选时，背包的最大价值为0。
• dp[i][0] 表示背包容量为0时，最大价值为0。

最终结果：

• 最终答案为 dp[n][m]，即在前 n 个物品中选择物品放入容量为 m 的背包中所能获得的最大价值。