【题解】二分数字组合 | 豆包MarsCode AI刷题

问题描述

小F面临一个有趣的挑战：给定一个数组，她需要将数组中的数字分为两组。分组的目标是使得一组数字的和的个位数等于给定的 A，另一组数字的和的个位数等于给定的 B。除此之外，还有一种特殊情况允许其中一组为空，但剩余数字和的个位数必须等于 A 或 B。小F需要计算所有可能的划分方式。

例如，对于数组 [1, 1, 1] 和目标 A = 1，B = 2，可行的划分包括三种：每个 1 单独作为一组，其余两个 1 形成另一组。如果 A = 3，B = 5，当所有数字加和的个位数为 3 或 5 时，可以有一组为非空，另一组为空。

问题分析

读题时

• 这道题是典型的 子集和问题 变体，所以我考虑用 dp 来做。
• 我注意到，题目要求关注两组数字和的 个位数 ，因此其他高位部分的数字就无关紧要了，可以对每个数字 取10的模 再dp。

解题时

状态方程推导

令 $f[i][j]$ 表示 前 $i$ 个数字能否组成一个子集，其和的个位数为 $j$ 。对于当前数字 $array[i−1]$ ，

如果不选，那么当前 $j$ 就直接由前 $i−1$ 个数字的状态继承。对应的状态转移是：

如果选，则 $j$ 应该等于前 $i−1$ 个数字和的个位数加上 $array[i−1]$ 后的结果。由于 $(a+b)\%10=(a\%10+b\%10)\%10$ ，对应状态转移为：

其中 $(j−array[i−1]+10)\%10$ 是为了保证结果在$0 \sim 9$ 的范围内，避免负数。

从以上两种情况，可以得到总的状态转移方程

边界条件和目标状态

若不选任何数字，和为 0，即 $f[0][0]=1$ ， 1 表示可以通过空集达到这个状态。和不可能为非 0 ，因此 $f[0][j]=0(j \neq 0)$

要判断是否存在一种分组，使得两组数字和的个位数分别为 $A$ 和 $B$；或者一组为空时，另一组的数字和的个位数为 $A$ 或 $B$。那么如果$f[n][A] \geq 1$ 或 $f[n][B] \geq 1$ （ $n$ 为数组长度），则说明至少存在一种分组方式满足条件。

数学约束

题目要求将数组分成两组，假设两组的和分别为 $S_1$ , $S_2$ ​，则满足以下条件

1. $S_1 + S_2 = \text{数组总和}$ （记为 $\text{sum\_unit}$ ）
2. $S_1\%10=A$ 且 $S_2 \% 10 = B$，或者反过来 $S_1\%10=B$ 且 $S_2 \% 10 = A$

将这两个条件结合，使用模运算的性质：

由于 $S_1 \% 10 = A$ 和 $S_2 \% 10 = B$，所以有：

根据这个约束可以提前剪枝，减少不必要的计算。

代码分析及注释

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

// 计算满足条件的划分方式
int solution(int n, int A, int B, vector<int>& array_a) {
    // 将所有数组元素取模 10，标准化为个位数
    for (int& x : array_a) {
        x %= 10;
    }
    
    // 计算总和的个位数
    int sum_unit = accumulate(array_a.begin(), array_a.end(), 0) % 10;
    
    // 检查总和是否满足 A 或 B，若满足，直接返回 1 种划分方式
    if (sum_unit == A || sum_unit == B) {
        return 1;
    }
    
    // 提前剪枝
    if (sum_unit != (A + B) % 10) {
        return 0;
    }

    vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(10, 0));
    dp[0][0] = 1; 

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 0; j < 10; j++) {
            dp[i][j] += dp[i - 1][j];
            dp[i][j] += dp[i - 1][(j - array_a[i - 1] + 10) % 10];
        }
    }

    return dp[n][B];
}

int main() {
    // 测试用例，此处省略
    return 0;
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n * 10)，其中 n 为数组长度，10 是和的个位数范围。
• 空间复杂度：O(n * 10)，使用二维dp数组存储结果。

总结

这道题表面上看起来像是一个传统的分组问题，但由于问题专注于个位数的和，这使得其可以通过模运算巧妙处理个位数的和。我利用了这一特殊要求，在设计状态转移方程时，将原本复杂的分组问题简化为一个易于计算的状态空间。同时使用模运算提前剪枝和压缩状态空间，提高了程序效率。