0,1背包最大价值问题| 豆包MarsCode AI刷题

这是一个经典的0/1背包问题。你需要在给定的背包容量 m 下，选择一些物品放入背包，使得这些物品的总价值最大。每个物品只能选择一次，要么放入背包，要么不放入。

数据结构选择

我们可以使用动态规划（Dynamic Programming, DP）来解决这个问题。动态规划的核心思想是将问题分解为子问题，并存储子问题的解以避免重复计算。

算法步骤

1. 定义状态：

   • 使用一个二维数组 dp[i][j]，其中 i 表示前 i 个物品，j 表示当前背包的容量。dp[i][j] 表示在前 i 个物品中选择物品放入容量为 j 的背包中所能获得的最大价值。

2. 定义状态：

   • 使用一个二维数组 dp[i][j]，其中 i 表示前 i 个物品，j 表示当前背包的容量。dp[i][j] 表示在前 i 个物品中选择物品放入容量为 j 的背包中所能获得的最大价值。

3. 状态转移方程：

   • 对于每个物品 i，我们有两种选择：

     • 不放入背包：此时 dp[i][j] = dp[i-1][j]，即不选择当前物品，背包的价值与前 i-1 个物品相同。
     • 放入背包：如果当前背包容量 j 大于等于物品 i 的重量 weights[i-1]，则可以选择放入物品 i，此时 dp[i][j] = dp[i-1][j - weights[i-1]] + values[i-1]，即选择当前物品，背包的价值为前 i-1 个物品在容量为 j - weights[i-1] 时的最大价值加上当前物品的价值。

   • 最终的状态转移方程为：

     plaintext

     dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - weights[i-1]] + values[i-1])

4. 初始化：

   • dp[0][j] 表示没有物品可选时，背包的最大价值为0。
   • dp[i][0] 表示背包容量为0时，最大价值为0。

5. 最终结果：

   • 最终答案为 dp[n][m]，即在前 n 个物品中选择物品放入容量为 m 的背包中所能获得的最大价值。

6. 最终结果：

   • 最终答案为 dp[n][m]，即在前 n 个物品中选择物品放入容量为 m 的背包中所能获得的最大价值。

总结

通过上述步骤，你可以构建一个动态规划表 dp，并根据状态转移方程逐步填充这个表，最终得到问题的解。

希望这些思路能帮助你更好地理解和解决这个问题。如果你有任何具体的问题或需要进一步的代码提示，请随时告诉我！