问题
代码实现
def solution(n: int, a: list) -> int:
# write code here
total_difference = 0
# 遍历矩阵，计算转置权值
for i in range(n):
for j in range(n):
total_difference += abs(a[i][j] - a[j][i])
return total_difference
return 0
if __name__ == '__main__':
print(solution(2, [[1, 2], [3, 4]]) == 2)
print(solution(3, [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]) == 16)
print(solution(4, [[1, 1, 1, 1], [2, 2, 2, 2], [3, 3, 3, 3], [4, 4, 4, 4]]) == 20)
问题背景与理解
小U需要计算一个 n×n 矩阵的转置权值。转置权值的定义如下：
- 将矩阵进行转置操作，转置后的矩阵中的元素 b[i][j] 与原矩阵中的元素 a[j][i] 互换位置。
- 对于每个位置 (i,j)，计算原矩阵的元素与转置矩阵对应位置元素的差的绝对值。
- 最后，将所有差的绝对值累加起来，得出转置权值。
解题思路
1. 矩阵转置
矩阵转置的定义是将矩阵 A 的行和列互换位置，即 AT[i][j]=A[j][i]。
2. 计算差的绝对值
对于每个位置 (i,j)，计算原矩阵 A[i][j] 与转置矩阵 AT[i][j] 的差的绝对值，即 ∣A[i][j]−A[j][i]∣。
3. 累加所有差的绝对值
将所有位置的差的绝对值累加起来，得到最终的转置权值。
详细步骤
- 初始化：定义一个变量
total_difference来存储转置权值，初始值为 0。 - 遍历矩阵：使用两层嵌套循环遍历矩阵的每个位置 (i,j)(i,j)。
- 计算差的绝对值：对于每个位置 (i,j)，计算 ∣A[i][j]−A[j][i]∣ 并累加到
total_difference中。 - 返回结果：返回
total_difference作为最终的转置权值。
总结与思考
1. 算法效率
- 时间复杂度：O(n2)。我们需要遍历矩阵的每个元素，计算差的绝对值并累加。
- 空间复杂度：O(1)。我们只使用了常数级的额外空间，没有使用额外的矩阵存储转置结果。
2. 优化方向
尽管当前的算法已经足够高效，但在某些特定情况下，我们还可以进一步优化。例如，如果矩阵是对称的，那么转置后的矩阵与原矩阵相同，转置权值为0。我们可以在遍历之前检查矩阵是否对称，从而避免不必要的计算。
3. 实际应用
这类问题在实际应用中也有一定的意义。例如，在图像处理中，矩阵转置和差值计算可以用于图像变换和特征提取。在数据科学中，矩阵操作是常见的任务，通过优化这些操作可以提高算法的性能。
