小S的货船租赁冒险 | 豆包MarsCode AI刷题

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问题理解

题目要求在给定的预算 V 元内，选择不同类型的货船，使得总载货量最大化。每种货船有固定的数量 m[i]、租赁成本 v[i] 和最大载货量 w[i]。这是一个典型的“多重背包问题”，即在有限的预算内，选择不同数量的物品（货船），使得总价值（载货量）最大化。

数据结构选择

  • 动态规划数组 dp[i]：表示在预算 i 元下能够达到的最大载货量。
  • 三重循环：外层循环遍历每种货船，中层循环从预算 V 递减到当前货船的租赁成本 v，内层循环遍历当前货船的数量 m。

算法步骤

  1. 初始化：创建一个大小为 V + 1 的数组 dp，初始值为 0。

  2. 动态规划更新：

    • 对于每种货船 [m, v, w]：

      • 从预算 V 递减到 v：

        • 对于每个数量 k（从 1 到 m）：

          • 如果当前预算 j 大于等于 k * v，则更新 dp[j] 为 dp[j] 和 dp[j - k * v] + k * w 中的较大值。

  3. 返回结果：最终 dp[V] 即为在预算 V 元下能够达到的最大载货量。 代码详解 public static int solution(int Q, int V, List<List> ships) { int[] dp = new int[V + 1];

    for (List ship : ships) { int m = ship.get(0); // 数量 int v = ship.get(1); // 租赁价格 int w = ship.get(2); // 最大载货量

    for (int j = V; j >= v; j--) {
    for (int k = 1; k <= m; k++) {
        if (j >= k * v) {
            dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - k * v] + k * w);
        }
    }
}

    }

    return dp[V]; }

    图解

假设我们有以下输入：

  • Q = 2
  • V = 10
  • ships = [[2, 3, 2], [3, 2, 10]]

初始 dp 数组：

plaintext

dp = [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 

0, 0, 0, 0]

处理第一种货船 [2, 3, 2]：

  • 预算 10 到 3：

    • k = 1：dp[10] = max(0, dp[7] + 2) = 2
    • k = 2：dp[10] = max(2, dp[4] + 4) = 4

处理第二种货船 [3, 2, 10]：

  • 预算 10 到 2：

    • k = 1：dp[10] = max(4, dp[8] + 10) = 10
    • k = 2：dp[10] = max(10, dp[6] + 20) = 20
    • k = 3：dp[10] = max(20, dp[4] + 30) = 30

最终 dp[10] = 32。

总结知识点

  • 动态规划：通过维护一个状态数组 dp，记录在不同预算下的最大载货量。
  • 多重背包问题：在有限的预算内，选择不同数量的物品，使得总价值最大化。
  • 三重循环：外层遍历物品，中层遍历预算，内层遍历物品数量。

独特理解

多重背包问题可以看作是0-1背包问题的扩展，关键在于如何处理每种物品的数量限制。通过三重循环，我们可以有效地处理每种物品的数量，确保在预算内选择最优的组合。动态规划的核心在于状态转移，理解如何从当前状态转移到下一个状态是解决这类问题的关键。

学习建议

  1. 基础知识：确保掌握基本的编程概念和数据结构，如数组、循环、条件语句等。
  2. 算法学习：从简单的算法开始，逐步学习动态规划、贪心算法、回溯等高级算法。
  3. 实践练习：多做练习题，特别是LeetCode、Codeforces等平台上的题目，通过实践加深理解。
  4. 代码调试：学会使用调试工具，逐步调试代码，理解每一步的执行过程。
  5. 学习资源：利用好网络资源，如Coursera、Udacity等在线课程，以及GitHub上的开源项目。

总结知识点

动态规划（Dynamic Programming）

  • 基本概念：动态规划是一种通过将问题分解为子问题并存储子问题的解来解决复杂问题的方法。它通常用于优化问题，如最短路径、最大子序列和背包问题。
  • 状态定义：在动态规划中，状态是指问题的当前状态，通常用一个数组或矩阵来表示。例如，dp[i] 表示在预算 i 元下能够达到的最大载货量。
  • 状态转移方程：状态转移方程描述了如何从当前状态转移到下一个状态。例如，dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - k * v] + k * w) 表示在预算 j 元下，选择 k 个当前货船的最大载货量。
  • 初始化：动态规划通常需要初始化一些基本状态，例如 dp[0] = 0，表示预算为 0 时，最大载货量为 0。
  • 边界条件：在动态规划中，需要考虑边界条件，确保状态转移方程在边界情况下也能正确执行。

多重背包问题（Multiple Knapsack Problem）

  • 问题定义：多重背包问题是背包问题的一种扩展，每种物品有固定的数量限制。目标是选择不同数量的物品，使得总价值最大化。
  • 与0-1背包问题的区别：0-1背包问题中，每种物品只能选择一次或不选择；而多重背包问题中，每种物品可以选择多次，但有数量限制。
  • 解法：多重背包问题可以通过三重循环来解决，外层循环遍历物品，中层循环遍历预算，内层循环遍历物品数量。

时间复杂度与空间复杂度

  • 时间复杂度：多重背包问题的时间复杂度为 O(Q * V * M)，其中 Q 是物品种类数量，V 是预算，M 是每种物品的最大数量。
  • 空间复杂度：空间复杂度为 O(V)，因为我们需要一个大小为 V + 1 的数组来存储状态。

优化技巧

  • 二进制优化：对于多重背包问题，可以通过二进制优化将时间复杂度降低到 O(Q * V * log(M))。具体做法是将每种物品的数量拆分为若干个2的幂次方，然后将其视为独立的物品进行处理。
  • 单调队列优化：对于某些特殊情况，可以使用单调队列优化将时间复杂度进一步降低到 O(Q * V)。

代码实现细节

  • 数组初始化：在Java中，数组默认初始化为0，因此不需要显式初始化 dp 数组。
  • 循环顺序：中层循环从预算 V 递减到当前货船的租赁成本 v，确保每个状态只被更新一次。
  • 边界检查：在内层循环中，需要检查当前预算 j 是否大于等于 k * v，避免数组越界。

调试与测试

  • 单元测试：编写单元测试用例，确保代码在不同输入情况下的正确性。
  • 边界测试：测试边界条件，如预算为0、物品数量为0等情况。
  • 性能测试：测试代码在较大输入规模下的性能，确保时间复杂度符合预期。

学习建议

  1. 基础知识：确保掌握基本的编程概念和数据结构，如数组、循环、条件语句等。
  2. 算法学习：从简单的算法开始，逐步学习动态规划、贪心算法、回溯等高级算法。
  3. 实践练习：多做练习题，特别是LeetCode、Codeforces等平台上的题目，通过实践加深理解。
  4. 代码调试：学会使用调试工具，逐步调试代码，理解每一步的执行过程。
  5. 学习资源：利用好网络资源，如Coursera、Udacity等在线课程，以及GitHub上的开源项目。

总结学习方法

  1. 系统学习：从基础开始，逐步深入，确保每个知识点都理解透彻。
  2. 实践为主：通过大量的练习，将理论知识转化为实际能力。
  3. 反思总结：每次练习后，反思解题过程，总结经验教训，形成自己的解题思路。
  4. 交流讨论：与他人交流讨论，分享解题思路，互相学习，共同进步。
  5. 持续学习：编程和算法是一个不断学习的过程，保持好奇心，持续学习新知识。

通过以上步骤，逐步提升编程能力和算法理解，最终能够独立解决复杂的问题。

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