小M的数组变换 | 豆包MarsCode AI刷题问题描述小M拿到一个数组，她可以进行多次操作，每次操作可以选择两个元

问题描述

小M拿到一个数组，她可以进行多次操作，每次操作可以选择两个元素 $a_i$ 和 $a_j$ ，并选择 $a_i$ 的一个因子 $x$ ，然后将 $a_i$ 变为 $a_i / x$ ，并将 $a_j$ 变为 $a_j \times x$ 。她的目标是通过有限次操作，使得数组中的每个元素最多只包含一种素因子。

素因子的定义是：若 $x$ 能被素数 $p$ 整除，那么 $p$ 是 $x$ 的一个素因子。例如， $12$ 的素因子有 $2$ 和 $3$ 。

你的任务是判断是否有可能通过有限次操作，使数组中的每个元素最多只包含一种素因子。如果可以，输出 "Yes"，否则输出 "No"。

测试样例

样例1：

输入：n = 4 ,a = [1, 2, 3, 4] 输出：'Yes'

样例2：

输入：n = 2 ,a = [10, 12] 输出：'No'

样例3：

输入：n = 3 ,a = [6, 9, 15] 输出：'Yes'

思路

1、观察题目和用例：

（1）每次操作可以选择两个元素 $a_i$ 和 $a_j$ ，并选择 $a_i$ 的一个因子 $x$ ，然后将 $a_i$ 变为 $a_i / x$ ，并将 $a_j$ 变为 $a_j \times x$ 。

假设我们存在两个数：10 和 36

依题，我们需要计算这两个数的素因子（为素数的因子），10为2、5，36为2、2、3、3

tips：题目要求最终答案每个元素只包含一个素因子，因此我们尽量将所有因子分解为素因子

对于每次操作，将 $a_i$ 变为 $a_i / x$ ，并将 $a_j$ 变为 $a_j \times x$ ，我们可以将每个元素视作素因子的集合，每次操作的本质就是将一个集合中的元素移动到另一个集合中

如10(2，5)和36(2，2，3，3)，可以变为20（2，2，5）和18（2，3，3）

（2）使数组中的每个元素最多只包含一种素因子

Q：什么情况下一个元素只存在一个素因子？

A：

情况一：这个元素本身就是素数（如7）

情况二：这个元素是单一素因子的乘积（如 $2*2 = 4$ 、 $3*3 = 9$ ）

综上，为了检查是否可以让每个元素都包含一个素因子，我们应当尽量将相同的素因子移动到同一个元素（集合）中，可以转化为所有元素的素因子的个数不超过元素的个数

如样例3： $a = [6，9，15]$ ，素因子为 $[[2, 3], [3, 3], [3, 5]]$ ，三个元素，三种素因子，每个素因子最终都可以归到一个集合中，因此结果是"Yes"

如样例2： $a = [10, 12]$ ，素因子为 $[[2,5], [2,3]]$ ，两个元素，三种素因子，每个素因子无法归到一个集合中，因此结果是"No"

（3）如何快速计算素因子

可以使用埃氏筛或欧拉筛（线性筛）

本题解使用埃式筛，由于题目数据较弱，只需要筛出20往前的素数即可

埃氏筛大致逻辑如下

1、创建一个从2到给定数字n的列表，初始化为全为“素数”（未被筛掉）。

2、从列表中找到第一个未被标记的数字，这一定是一个素数。

3、标记这个数字的所有倍数为“非素数”。

4、重复步骤2和步骤3，直到处理的数字超过范围。

5、剩下未被标记的数字即为素数。

// 保存素数
static List<Integer> p = new ArrayList<>();
static {
    // 判断一个i是否是素数，本题范围为20以内即可AC
    boolean[] temp = new boolean[20];
    // 初始化
    Arrays.fill(temp, true);
    temp[0] = false;
    temp[1] = false;
    for (int i = 2; i < temp.length; i++) {
        for(int j = 2;i*j<temp.length;j++){
            temp[i*j] = false;
        }
    }
    for (int i = 0; i < temp.length; i++) {
        // 是素数
        if (temp[i]) {
            p.add(i);
        }
    }
}

2、大致逻辑

预处理素数
遍历每个元素，统计每个元素中出现的素因数
计算出现过的素因数个数是否<=元素个数

代码

static List<Integer> p = new ArrayList<>();

static {
    boolean[] pp = new boolean[10000];
    Arrays.fill(pp, true);
    pp[0] = false;
    pp[1] = false;
    for (int i = 2; i < pp.length; i++) {
        for (int j = 2; i * j < pp.length; j++) {
            pp[i * j] = false;
        }
    }
    for (int i = 0; i < pp.length; i++) {
        if (pp[i]) {
            p.add(i);
        }
    }
}

public static String solution(int n, int[] a) {
    // 统计素因子个数
    Set<Integer> set = new HashSet<>();
    for (int i = 0; i < a.length; i++) {
        for (int j = 0; p.get(j) <= a[i]; j++) {
            // 是因子
            if (a[i] % p.get(j) == 0) {
                set.add(p.get(j));
            }
        }
    }
    return set.size() <= a.length ? "Yes" : "No";
}

public static void main(String[] args) {
    System.out.println(solution(4, new int[]{1, 2, 3, 4}).equals("Yes"));
    System.out.println(solution(2, new int[]{10, 12}).equals("No"));
    System.out.println(solution(3, new int[]{6, 9, 15}).equals("Yes"));
}

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