最少花费购买食物问题解析与解题思路| 豆包MarsCode AI刷题

这是一道经典的贪心算法题目，要求规划从起点到终点的购买策略，以使总花费最小。下面整理题目理解、解题思路和实现步骤，方便复习和参考。

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问题分析

小U需要在从地点A到地点B的徒步旅行中保证每天有食物，同时需要从不同价格的补给站中购买以实现 总花费最小。关键问题在于如何规划每一天的购买数量和购买地点。

输入输出分析

• 输入：

  • M：总路程的天数。

  • N：补给站的数量。

  • p：补给站信息，p[i] = [A, B] 表示第 A 天有补给站，每份食物的价格为 B。

    • 保证第 0 天一定有补给站。
    • 补给站按照天数从小到大排列。

• 输出：

  • 购买食物的最小总花费。

示例

• 输入：

  plaintext
  复制代码
  m = 5, n = 4, p = [[0, 2], [1, 3], [2, 1], [3, 2]]
  

  • 共需 5 天。
  • 有 4 个补给站分别在第 0 天、第 1 天、第 2 天、第 3 天，价格依次为 2, 3, 1, 2。

• 输出：

  plaintext
  复制代码
  7
  

  • 最优策略：

    1. 在第 0 天购买 2 份（消耗当天和第 1 天）。

    2. 在第 2 天购买 3 份（供第 2, 3, 4 天）。

    • 总花费：2×2 + 1×3 = 7。

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解题思路

问题建模

• 每一天消耗一份食物。

• 每个补给站的价格不同，我们需要决定在哪些天购买多少食物，以满足全程需求，并使总花费最小。

• 贪心策略适合解决这类问题，即：

  1. 优先在价格便宜的补给站购买更多食物。
  2. 在高价补给站尽量少买，甚至不买。

核心思想

• 模拟每天的行程，同时维护当前持有的食物数量。
• 当即将缺少食物时，根据价格和剩余天数选择最优的购买策略。
• 使用 优先队列（小根堆） 来动态管理价格最低的补给站。

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详细实现步骤

1. 初始化

• 使用一个变量 current_food 表示当前持有的食物数量。
• 用一个优先队列（最小堆）记录当前所有可用的补给站（根据价格排序）。
• 总花费初始化为 0。

2. 按天模拟

• 遍历每一天，从第 0 天到第 M-1 天。

  1. 每天先消耗一份食物，current_food -= 1。
  2. 如果当前天有补给站，将其加入优先队列（按价格排序）。
  3. 当食物不足时，从优先队列中购买最便宜的食物，直到满足需求。

3. 贪心购买

• 当天食物不足时：

  • 从价格最低的补给站（堆顶）购买食物。
  • 更新总花费和当前食物数量。

4. 特殊情况

• 如果在任何时刻，优先队列为空且食物不足，则问题无解。

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代码实现

import java.util.PriorityQueue;

public class Main {
    public static int solution(int m, int n, int[][] p) {
        // Edit your code here
        int[] dp = new int[m + 1];
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            dp[i] = Integer.MAX_VALUE; // Set a high initial cost for each day
        }
        dp[0] = 0; // Starting point has no cost

        // Priority queue to store available stations, sorted by price (min-heap)
        PriorityQueue<int[]> minHeap = new PriorityQueue<>((a, b) -> a[1] - b[1]);

        int stationIndex = 0;
        for (int day = 0; day <= m; day++) {
            // Add new stations that are available on this day
            while (stationIndex < n && p[stationIndex][0] == day) {
                minHeap.offer(p[stationIndex]);
                stationIndex++;
            }

            // If we need food today and there's an available station
            if (dp[day] != Integer.MAX_VALUE && !minHeap.isEmpty()) {
                // Buy food at the lowest price available from the heap
                int[] cheapestStation = minHeap.peek();
                int price = cheapestStation[1];

                // Only update dp[day + 1] if day + 1 is within bounds
                if (day + 1 <= m) {
                    dp[day + 1] = Math.min(dp[day + 1], dp[day] + price);
                }
            }
        }

        return dp[m];
    }

    public static void main(String[] args) {
        // Add your test cases here

        System.out.println(solution(5, 4, new int[][]{{0, 2}, {1, 3}, {2, 1}, {3, 2}}) == 7);
    }
}

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复杂度分析

1. 时间复杂度：

   • 遍历所有天数和补给站：O(M + N)。
   • 堆操作（插入/弹出）：O(log N)。
   • 总复杂度：O((M + N) log N)。

2. 空间复杂度：

   • 存储补给站的堆：O(N)。

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总结与扩展

总结

1. 贪心思想：优先从价格最低的补给站购买足够的食物。
2. 动态维护最优解：利用优先队列快速获取当前最便宜的补给站。
3. 边界处理：确保在缺少食物时优先购买，避免因缺少食物导致旅行失败。

扩展

1. 更多限制条件：如果每个补给站能购买的食物数量有限，需要在贪心时额外处理购买数量。
2. 其他算法：对于补给站数量庞大的场景，可用动态规划方法优化搜索路径。