连续子串和的整除问题 | 豆包MarsCode AI刷题问题描述给定一个长度为 $ n $ 的正整数序列 $ a_0,

问题描述

给定一个长度为 $n$ 的正整数序列 $a_0, a_1, \ldots, a_{n-1}$ 和一个正整数 $b$ ，要求找出有多少个连续子序列的和能够被 $b$ 整除。

样例

样例1

输入： $n = 3$ , $b = 3$ , 序列 = [1, 2, 3]
输出：3
解释：符合条件的子序列有 [1, 2], [1, 2, 3], [3]

样例2

输入： $n = 4$ , $b = 5$ , 序列 = [5, 10, 15, 20]
输出：10
解释：符合条件的子序列有 [5], [10], [15], [20], [5, 10], [10, 15], [15, 20], [5, 10, 15], [10, 15, 20], [5, 10, 15, 20]

样例3

输入： $n = 5$ , $b = 2$ , 序列 = [1, 2, 3, 4, 5]
输出：6
解释：符合条件的子序列有 [1, 2], [3, 4], [1, 2, 3, 4], [1], [3], [5]

解题思路

前缀和与模运算

为了高效地解决这个问题，我们可以利用前缀和的概念和模运算的性质。具体来说，如果一个子序列的和能够被 $b$ 整除，那么这个子序列的和模 $b$ 的结果为 0。我们可以通过计算前缀和的模 $b$ 来简化这个问题。

关键点

前缀和：定义 $S_i$ 为从序列开始到第 $i$ 个元素的和，即 $S_i = a_0 + a_1 + \ldots + a_i$ 。
模运算：如果一个子序列的和 $S_j - S_i$ 能够被 $b$ 整除，那么 $(S_j - S_i) \% b = 0$ ，这等价于 $S_j \% b = S_i \% b$ 。

算法步骤

初始化：
- 创建一个数组 prefix_sum_mod 用于存储每个前缀和模 $b$ 的结果。
- 创建一个哈希表 mod_count 用于记录每个模值出现的次数。
- 初始化变量 total_subsequences 用于记录满足条件的子序列数量。
计算前缀和并取模：
- 遍历序列，计算当前前缀和 current_sum，并将其模 $b$ 的结果存储在 prefix_sum_mod 中。
- 更新哈希表 mod_count，记录每个模值出现的次数。
计算满足条件的子序列数量：
- 遍历哈希表 mod_count，对于每个模值 $x$ 出现 $c$ 次，可以形成 $\frac{c(c-1)}{2}$ 个子序列。
- 特别地，如果某个前缀和的模值为 0，那么它本身也可以作为一个满足条件的子序列。

代码实现

def solution(n, b, sequence):
    # 初始化前缀和数组和哈希表
    prefix_sum_mod = [0] * n
    mod_count = {0: 1}  # 初始化模0的计数为1，因为前缀和为0的情况也算一个子序列
    total_subsequences = 0
    
    # 计算前缀和并取模
    current_sum = 0
    for i in range(n):
        current_sum += sequence[i]
        mod_value = current_sum % b
        
        # 更新哈希表
        if mod_value in mod_count:
            mod_count[mod_value] += 1
        else:
            mod_count[mod_value] = 1
    
    # 计算满足条件的子序列数量
    for count in mod_count.values():
        total_subsequences += (count * (count - 1)) // 2  # 组合的情况
    
    return total_subsequences

if __name__ == "__main__":
    # 测试样例
    sequence1 = [1, 2, 3]
    print(solution(3, 3, sequence1) == 3)
    
    sequence2 = [5, 10, 15, 20]
    print(solution(4, 5, sequence2) == 10)
    
    sequence3 = [1, 2, 3, 4, 5]
    print(solution(5, 2, sequence3) == 6)

代码解释

前缀和数组：prefix_sum_mod 存储每个前缀和模 $b$ 的结果。
哈希表：mod_count 记录每个模值出现的次数，初始时模0的计数为1。
组合公式：对于每个模值 $x$ 出现 $c$ 次，可以形成 $\frac{c(c-1)}{2}$ 个子序列。
特殊情况：如果某个前缀和的模值为 0，那么它本身也是一个满足条件的子序列。

时间复杂度

时间复杂度： $O(n)$ ，其中 $n$ 是序列的长度。我们只需要遍历一次序列来计算前缀和和更新哈希表。
空间复杂度： $O(b)$ ，哈希表的大小取决于模值的数量，最大为 $b$ 。