题目内容与要求
思路解析
为了求解这个问题，我们需要考虑如何有效地遍历所有的可能性来构建符合条件的数组 b。由于每个位置上的值不能与其对应位置的原数组 a相同，且所有元素之和保持不变，因此我们需要设计一种动态规划（Dynamic Programming, DP）的方法来解决这个问题。
动态规划定义
动态规划是一种用于解决多阶段决策过程最优化问题的算法思想。它通过将复杂问题分解成更小的子问题，并存储这些子问题的解以避免重复计算，从而提高效率。动态规划特别适用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
在本题中设 dp[i][j] 表示使用前 i 个元素构造和为 j 的数组的数量。我们的目标是找出 dp[n][sum_a]，其中 n 是数组 a 的长度，sum_a 是数组 a 所有元素的和。
转移方程
对于每一个位置 i 和每一种可能的和 j，我们需要检查所有可能的值 k(1 <= k <= sum_a)作为第 i 个位置的值。如果 k 不等于 a[i-1] 并且 j-k大于等于 0，那么我们可以将 dp[i-1][j-k] 加到 dp[i][j] 上去。
dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i - 1][j - k]) % MOD;
边界情况处理
- 当
i=0且j=0时，只有一种方法（什么都不选），所以dp[0][0]=1。 - 其他情况下，如果没有办法达到某个和或者当前选择的值与原数组相同，则该状态的值为
0。
完整代码
#include <iostream>
#include <vector>
#include <numeric> // for std::accumulate
using namespace std;
const int MOD = 1e9 + 7;
int solution(int n, vector<int> &a)
{
int sum_a = accumulate(a.begin(), a.end(), 0);
// 如果总和小于 n，则不可能构造出满足条件的数组 b
if (sum_a < n)
{
return 0;
}
// 初始化 dp 数组
vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(sum_a + 1, 0));
dp[0][0] = 1; // 使用 0 个元素构造和为 0 的数组有 1 种方式
for (int i = 1; i <= n; ++i)
{
for (int j = 1; j <= sum_a; ++j)
{
for (int k = 1; k <= sum_a; ++k)
{
if (k != a[i - 1] && j >= k)
{
dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i - 1][j - k]) % MOD;
}
}
}
}
// 最终答案是使用 n 个元素构造和为 sum_a 的数组 b 的数量
return dp[n][sum_a];
}
int main()
{
vector<int> a1 = {1, 1, 3};
vector<int> a2 = {1, 1, 1};
vector<int> a3 = {2, 3};
cout << (solution(3, a1) == 1) << endl;
cout << (solution(3, a2) == 0) << endl;
cout << (solution(2, a3) == 3) << endl;
return 0;
}
代码解释
-
初始化：
- 计算数组
a的总和sum_a。 - 如果
sum_a < n，则不可能构造出满足条件的数组b，直接返回 0。 - 初始化
dp数组，dp[0][0]设为 1。
- 计算数组
-
动态规划：
- 外层循环遍历每个位置
i。 - 中层循环遍历每个可能的和
j。 - 内层循环遍历每个可能的值
k，如果k不等于a[i-1]且j >= k，则更新dp[i][j]。
- 外层循环遍历每个位置
-
返回结果：
- 最终返回
dp[n][sum_a]，表示使用n个元素构造和为sum_a的数组b的数量。
- 最终返回
测试用例
a1 = {1, 1, 3}，预期输出1。a2 = {1, 1, 1}，预期输出0。a3 = {2, 3}，预期输出3。
时间复杂度
时间复杂度主要取决于两个嵌套循环，分别是 O(n) 和 O(sum_a)，因此总体的时间复杂度大约是 O(n*sum_a)。
空间复杂度
空间复杂度主要是由二维数组 dp 决定的，其大小为 O(n*sum_a)。
核心知识
动态规划虽然不好理解，但确实是一种强大的算法思想，在处理有些问题时很有用。动态规划可以通过将问题分解成子问题并存储子问题的解，可以高效地解决具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。理解和应用动态规划的关键在于正确地定义状态、状态转移方程以及初始和边界条件。
总结
本题的核心知识点在于动态规划的应用以及如何有效利用记忆化搜索来避免重复计算。此外，还需要注意边界条件的正确设置以确保算法能够正确执行。取模操作是为了在实际编程中，考虑到数值可能会非常大，来防止溢出。
