徒步旅行中的补给问题 | 豆包MarsCode AI刷题

问题描述

小R正在计划一次从地点A到地点B的徒步旅行，总路程需要 N 天。为了在旅途中保持充足的能量，小R每天必须消耗1份食物。幸运的是，小R在路途中每天都会经过一个补给站，可以购买食物进行补充。然而，每个补给站的食物每份的价格可能不同，并且小R最多只能同时携带 K 份食物。

现在，小R希望在保证每天都有食物的前提下，以最小的花费完成这次徒步旅行。你能帮助小R计算出最低的花费是多少吗？

思路分析

可以将这个问题看作是个动态规划或者贪心算法的问题。 但是对于这个问题，贪心算法可能无法保证找到最小的花费。

算法步骤

1. 定义状态：

   • dp[i][j] 表示在第 i 天结束时，携带 j 份食物的最小花费。

2. 初始化：

   • dp[0][0] = 0，表示在第0天结束时，携带0份食物的花费为0。
   • 其他状态初始化为无穷大，表示不可达。

3. 状态转移：

   • 对于每一天 i，考虑前一天的状态 dp[i-1][j]，并计算在第 i 天购买食物的花费。
   • 更新 dp[i][l]，其中 l 是第 i 天结束时携带的食物量。

4. 最终结果：

   • 最终结果是 dp[N][0]，表示在第 N 天结束时，携带0份食物的最小花费。

代码实现

def solution(n, k, data):
    # Edit your code here
    dp = [[float('inf')] * (k + 1) for _ in range(n + 1)]
    dp[0][0] = 0
    
    for i in range(1, n + 1):
        for l in range(k):
            for j in range(k):
                if l - j + 1 >= 0 and l - j + 1 <= k:
                    dp[i][l] = min(dp[i][l], dp[i - 1][j] + (l - j + 1) * data[i - 1])
    # print(dp)
    return dp[n][0]
    return 0


if __name__ == "__main__":
    # Add your test cases here

    print(solution(5, 2, [1, 2, 3, 3, 2]) == 9)

贪心算法？

为什么不能用贪心算法？

1. 局部最优不等于全局最优：

   • 贪心算法在每一步选择当前最便宜的食物购买，但这不一定能保证最终的总花费最小。例如，可能在某一天购买了便宜的食物，但导致后续几天需要购买更贵的食物。

2. 食物携带限制：

   • 小R最多只能携带 K 份食物，这代表在某些情况下，需要在某一天购买更多的食物以应对后续几天的需求。

贪心算法可能无法保证找到最小的花费，因为每一步的最优选择不一定能保证全局最优。而动态规划能够考虑到所有可能的状态转移，进而能得到全局最优解。

知识总结

• 动态规划：

  • 动态规划是一种用于解决最优化问题的方法，通过将复杂问题分解成更简单的子问题，以避免重复计算。

• 状态转移方程：

  • 动态规划的核心在于建立合适的状态转移方程，该方程能够准确地反映问题的状态变化。

  dp[i][l] = min(dp[i][l], dp[i - 1][j] + (l - j + 1) * data[i - 1])

• 时间复杂度与空间复杂度：

  • 本题所利用的算法的时间复杂度为O(N * K²)，这是因为对于每一天，需要遍历可携带的食物量K和前一状态中的食物量K。
  • 空间复杂度为O(N * K)，用于存储DP表。