小C选点 | 豆包MarsCode AI刷题

Ocean0306
148 阅读5分钟

一、问题分析

  1. 问题描述

    • 小 C 在坐标轴上有个点，要从中选出个点，使得这些点之间的两两距离都不超过。需要计算有多少种选点的方案。答案需要对取模。

  2. 示例分析

    • 以样例 1 为例：输入，，，，输出为。

      • 这里有个点，要选个点，且两点距离不超过。可以列出所有可能的选法：

        • 选，距离为。
        • 选，距离为。
        • 选，距离为。
        • 选，距离为。
        • 选，距离为。
        • 选，距离为。

      • 总共有种选法。

二、解题思路

  1. 暴力解法（不推荐，但有助于理解）

    • 可以使用嵌套循环来枚举所有可能的选点组合。
    • 对于每一种选点组合，计算两两之间的距离，判断是否都不超过。如果满足条件，则方案数加。
    • 以下是 Python 代码实现：
MOD = 10**9 + 7 


def check(points, k):
    for i in range(len(points)):
        for j in range(i + 1, len(points)):
        if abs(points[i] - points[j]) > k:
            return False
    return True
    
    
def brute_force(n, m, k, x):
    count = 0
    for i in range(1 << n):
        selected_points = []
        for j in range(n):
            if (i & (1 << j)):      
            selected_points.append(x[j])
        if len(selected_points) == m and check(selected_points, k):
        count = (count + 1) % MOD
    return count

  • 这种方法的时间复杂度非常高，在实际应用中会超时。

  1. 优化思路

    • 可以考虑使用动态规划来解决这个问题。

    • 定义状态表示在前个点中选了个点且满足距离条件的方案数。

    • 状态转移方程：

      • 对于第个点，有两种情况：选或者不选。
      • 如果不选第个点，那么。
      • 如果选第个点，需要检查第个点与之前选的点的距离是否都不超过。如果满足条件，则。

    • 以下是 Python 代码实现：

MOD = 10**9 + 7


def count_ways(n, m, k, x):
    dp = [[0] * (m + 1) for _ in range(n + 1)]
    dp[0][0] = 1
    for i in range(1, n + 1):
        dp[i][0] = 1
        for j in range(1, min(i + 1, m + 1)):
            dp[i][j] = dp[i - 1][j]
            for p in range(i - 1, -1, -1):
                if abs(x[i - 1] - x[p - 1]) <= k:
                    dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[p - 1][j - 1]) % MOD 
                else:
                    break
    return dp[n][m]

三、总结

一、问题回顾

小 C 选点问题的核心是在给定的坐标轴上的个点中，选出个点，要求这些点两两之间的距离都不超过，并计算出满足条件的选点方案数，同时结果需对取模。

二、解法分析

（一）暴力解法

  1. 思路阐述

    • 暴力解法是通过枚举所有可能的选点组合来计算方案数。使用位运算来生成所有可能的组合，对于每一种组合，再检查所选点之间的距离是否满足条件。
    • 具体来说，通过循环遍历所有可能的二进制数（每一位代表一个点是否被选中），对于每个二进制数对应的选点组合，调用check函数来检查距离是否满足条件。如果满足，则将方案数加。

  2. 复杂度分析

    • 时间复杂度：生成所有选点组合的时间复杂度为，对于每一种组合，检查距离的时间复杂度最坏情况下为（检查个点两两之间的距离），所以总的时间复杂度为，这在较大时会非常低效。
    • 空间复杂度：主要是存储输入点的列表，空间复杂度为。

（二）动态规划解法

  1. 思路阐述

    • 动态规划的核心是定义状态和状态转移方程。这里定义表示在前个点中选了个点且满足距离条件的方案数。

    • 状态转移方程分为两种情况：

      • 不选第个点时，，即方案数等于前个点中选个点的方案数。
      • 选第个点时，需要检查第个点与之前选的点的距离是否都不超过。从个点向前遍历，找到第一个与第个点距离不超过的点，则，即加上在前个点中选个点的方案数。

  2. 复杂度分析

    • 时间复杂度：有两层循环，外层循环次，内层循环最坏情况下次，每次循环中检查距离的操作最坏情况下次，所以时间复杂度为，相比暴力解法有很大改善。
    • 空间复杂度：使用二维数组来存储状态，空间复杂度为。

三、优化方向

  1. 空间优化

    • 可以使用滚动数组来优化动态规划的空间复杂度。由于只与相关，可以只使用两个一维数组来交替存储状态，将空间复杂度降低到。

  2. 时间优化

    • 在检查距离时，可以考虑使用二分查找等数据结构和算法来加速查找满足距离条件的点，进一步降低时间复杂度。

四、问题拓展

  1. 变种问题

    • 如果坐标轴变成二维平面或三维空间，问题将变得更加复杂。需要重新考虑距离的计算方式和状态的定义。
    • 例如在二维平面上，两点之间的距离公式变为，在动态规划中需要根据新的距离公式来判断和计算。

  2. 应用场景

    • 这类问题在实际应用中有很多场景，比如在网络布局中选择合适的节点位置，使得节点之间的通信延迟在可接受范围内；或者在城市规划中选择合适的公共设施位置，使得居民到达设施的距离不超过一定范围等。
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