问题描述
题目描述了一个 m×n 的地图，每个位置有一个高度值。小U需要在这个地图上行走，但有以下限制：
- 小U只能上坡或下坡，不能走到高度相同的点。
- 移动时必须交替进行：上坡后必须下坡，下坡后必须上坡，不能连续上坡或下坡。
- 每个位置只能经过一次，不能重复行走。
任务是帮助小U找到他在地图上可以移动的最大次数，即在符合所有条件的前提下，小U能走过的最大连续位置数量。 例如在以下2x2的地图中：
1 2
4 3
中庸行者可以选择移动顺序 3 -> 4 -> 1 -> 2，最大移动次数为3。
题目要求
- 输入：地图的大小 m 和 n，以及地图的高度矩阵 a。
- 输出：小U可以移动的最大次数。
思路解析
1. 深度优先搜索（DFS）
由于题目要求每个位置只能经过一次，并且移动时必须交替进行，可以使用深度优先搜索（DFS）来解决这个问题。DFS可以有效地遍历所有可能的路径，并记录每条路径的长度。
2. 状态表示
在DFS过程中，需要记录以下几个状态：
- 当前位置 (
x,y) - 是否处于上坡状态（
is_up） - 已访问的位置（
visited）
3. 递归终止条件
- 如果当前位置超出地图范围，递归终止。
- 如果当前位置已经访问过，递归终止。
4. 递归过程
- 对于每个位置，尝试向四个方向（上、下、左、右）移动。
- 检查新位置是否在地图范围内且未被访问过。
- 检查新位置的高度是否满足上坡或下坡的要求。
- 如果满足条件，继续递归，并更新最大路径长度。
- 递归结束后，回溯：标记当前位置为未访问。
int dfs(int m, int n, vector<vector<int>> &a, vector<vector<bool>> &visited, int x, int y, bool is_up)
{
// 标记当前位置为已访问
visited[x][y] = true;
int max_length = 0;
// 定义四个方向的移动
vector<pair<int, int>> directions = {{-1, 0}, {1, 0}, {0, -1}, {0, 1}};
for (auto &dir : directions)
{
int new_x = x + dir.first;
int new_y = y + dir.second;
// 检查新位置是否在地图范围内
if (new_x >= 0 && new_x < m && new_y >= 0 && new_y < n)
{
// 检查新位置是否未被访问过
if (!visited[new_x][new_y])
{
// 检查是否满足高度差条件和交替移动条件
if ((is_up && a[new_x][new_y] < a[x][y]) || (!is_up && a[new_x][new_y] > a[x][y]))
{
// 继续DFS
max_length = max(max_length, 1 + dfs(m, n, a, visited, new_x, new_y, !is_up));
}
}
}
}
// 回溯：标记当前位置为未访问
visited[x][y] = false;
return max_length;
}
5. 全局最优解
- 从每个位置开始进行DFS，尝试所有可能的起始点。
- 记录所有路径的最大长度，最终返回全局最大值。
int solution(int m, int n, vector<vector<int>> &a)
{
int max_length = 0;
vector<vector<bool>> visited(m, vector<bool>(n, false));
// 从每个位置开始进行DFS
for (int i = 0; i < m; ++i)
{
for (int j = 0; j < n; ++j)
{
max_length = max(max_length, dfs(m, n, a, visited, i, j, true));
max_length = max(max_length, dfs(m, n, a, visited, i, j, false));
}
}
return max_length;
}
核心知识
1. 深度优先搜索（DFS）
DFS是一种用于遍历或搜索树或图的算法。它从根节点开始，沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深地搜索树的分支。当节点v的所在边都己被探寻过，搜索将回溯到发现节点v的那条边的起始节点。这一过程一直进行到已发现从源节点可达的所有节点为止。
2. 回溯法
回溯法是一种通过试错来寻找问题解决方案的方法。在解决问题的过程中，如果发现当前选择无法达到目标，则撤销当前选择，回溯到上一步，尝试其他选择。这种方法适用于需要探索所有可能解的问题。
3. 二维数组的遍历
在处理二维数组时，通常需要遍历每个元素。可以通过嵌套循环来实现这一点。对于每个元素，可以尝试向四个方向（上、下、左、右）移动，确保新位置在数组范围内且未被访问过。
4. 交替条件的处理
在DFS过程中，需要维护一个布尔变量 is_up 来记录当前是否处于上坡状态。每次移动时，根据 is_up 的值判断新位置的高度是否满足条件，并在递归调用时切换 is_up 的值。
代码实现
以下是完整的代码实现，包括DFS和主函数：
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
int dfs(int m, int n, vector<vector<int>>& a, vector<vector<bool>>& visited, int x, int y, bool is_up) {
// 标记当前位置为已访问
visited[x][y] = true;
int max_length = 0;
// 定义四个方向的移动
vector<pair<int, int>> directions = {{-1, 0}, {1, 0}, {0, -1}, {0, 1}};
for (auto& dir : directions) {
int new_x = x + dir.first;
int new_y = y + dir.second;
// 检查新位置是否在地图范围内
if (new_x >= 0 && new_x < m && new_y >= 0 && new_y < n) {
// 检查新位置是否未被访问过
if (!visited[new_x][new_y]) {
// 检查是否满足高度差条件和交替移动条件
if ((is_up && a[new_x][new_y] < a[x][y]) || (!is_up && a[new_x][new_y] > a[x][y])) {
// 继续DFS
max_length = max(max_length, 1 + dfs(m, n, a, visited, new_x, new_y, !is_up));
}
}
}
}
// 回溯：标记当前位置为未访问
visited[x][y] = false;
return max_length;
}
int solution(int m, int n, vector<vector<int>>& a) {
int max_length = 0;
vector<vector<bool>> visited(m, vector<bool>(n, false));
// 从每个位置开始进行DFS
for (int i = 0; i < m; ++i) {
for (int j = 0; j < n; ++j) {
max_length = max(max_length, dfs(m, n, a, visited, i, j, true));
max_length = max(max_length, dfs(m, n, a, visited, i, j, false));
}
}
return max_length;
}
int main() {
vector<vector<int>> a1 = {{1, 2}, {4, 3}};
cout << (solution(2, 2, a1) == 3) << endl;
vector<vector<int>> a2 = {{10, 1, 6}, {5, 9, 3}, {7, 2, 4}};
cout << (solution(3, 3, a2) == 8) << endl;
vector<vector<int>> a3 = {{8, 3, 2, 1}, {4, 7, 6, 5}, {12, 11, 10, 9}, {16, 15, 14, 13}};
cout << (solution(4, 4, a3) == 11) << endl;
}
总结
通过使用深度优先搜索（DFS）和回溯法，我们可以有效地解决这个问题。DFS允许我们遍历所有可能的路径，并记录每条路径的长度。回溯法确保我们在探索完一条路径后，可以回到上一步，尝试其他路径。通过这种方式，我们可以找到小U在地图上可以移动的最大次数。
