AI刷题：徒步旅行中的补给问题｜豆包MarsCode AI刷题题目描述小R计划进行一次从地点A到地点B的徒步旅行，这次

题目描述

小R计划进行一次从地点A到地点B的徒步旅行，这次旅行总共需要 $N$ 天。为了保持充足的能量，小R每天必须消耗1份食物。幸运的是，小R每天都会经过一个补给站，可以在此购买食物进行补充。然而，每个补给站的食物价格各不相同，每份食物的价格由数组 $data$ 给出，其中 $data[i]$ 表示第 $i$ 天补给站的食物单价。此外，小R最多只能同时携带 $K$ 份食物。

小R希望在保证每天都有食物的前提下，以最小的花费完成这次徒步旅行。你的任务是帮助小R计算出最低的总花费。

解题思路

解题思路

这是一道典型的动态规划问题，需要考虑在每一天购买多少食物才能以最小的成本完成整个旅程。关键在于决策小R在每个补给站购买的食物数量，使得在满足每天消耗1份食物和背包容量不超过 $K$ 的限制下，总花费最小。

我们可以使用动态规划来解决这个问题，定义状态和状态转移方程如下：

状态定义：设 $dp[i][j]$ 表示在第 i 天购物前，背包中有 j 份食物，完成剩余旅程所需的最小总花费。
初始状态：
- 对于最后一天（第 $N-1$ 天），我们需要确保小R有足够的食物完成当天的消耗。
  - 如果此时背包中有0份食物（ $j=0$ ），则必须购买1份食物，花费为 $data[N−1]$ 。
  - 如果背包中有食物（ $j>0$ ），则不需要购买，花费为0。
状态转移方程：
- 对于第 $i$ 天，考虑当前背包中有 $j$ 份食物，可能的决策是购买 $t$ 份食物（ $0≤t≤K−j$ ），使得背包中的食物数量不超过 $K$ 。
- 每次购买后，背包中的食物数量变为 $j+t−1$ （消耗1份食物），下一状态为 $dp[i+1][j+t−1]$ 。
- 我们需要在所有可能的 $t$ 中选择使得总花费 $cost=t×data[i]+dp[i+1][j+t−1]$ 最小的方案。
目标：计算 $dp[0][0]$ ，即从第0天开始，背包中没有食物的情况下完成旅程的最小总花费。

代码实现

public class Main {
    public static int solution(int n, int k, int[] data) {
        // dp[i][j]表示：在第i天结束时，背包中有j份食物，完成剩余旅程的最小花费
        int[][] dp = new int[n][k + 1];
        
        // 初始化最后一天的dp数组
        for (int foodCnt = 0; foodCnt <= k; foodCnt++) {
            if (foodCnt == 0) {
                // 背包为空，需要购买1份食物
                dp[n - 1][foodCnt] = data[n - 1];
            } else {
                // 背包有食物，不需要购买
                dp[n - 1][foodCnt] = 0;
            }
        }

        // 从倒数第二天开始递推
        for (int nthDay = n - 2; nthDay >= 0; nthDay--) {
            for (int curFoodCnt = 0; curFoodCnt <= k; curFoodCnt++) {
                int minCost = Integer.MAX_VALUE;
                // 枚举在当前补给站购买的食物数量
                for (int addFoodCnt = 0; addFoodCnt + curFoodCnt <= k; addFoodCnt++) {
                    // 购买的食物花费
                    int needMoney = addFoodCnt * data[nthDay];
                    // 计算下一状态的食物数量
                    int nextFoodCnt = addFoodCnt + curFoodCnt - 1;
                    if (nextFoodCnt >= 0) {
                        // 更新最小花费
                        minCost = Math.min(minCost, needMoney + dp[nthDay + 1][nextFoodCnt]);
                    }
                }
                dp[nthDay][curFoodCnt] = minCost;
            }
        }

        // 返回从第0天开始，背包为空的最小总花费
        return dp[0][0];
    }

    public static void main(String[] args) {
        // 测试用例
        System.out.println(solution(5, 2, new int[]{1, 2, 3, 3, 2}) == 9);
        System.out.println(solution(6, 3, new int[]{4, 1, 5, 2, 1, 3}) == 9);
        System.out.println(solution(4, 1, new int[]{3, 2, 4, 1}) == 10);
    }
}

代码详解

dp数组的定义：使用一个二维数组 $dp[n][k+1]$ 来存储状态，其中 $n$ 是天数， $k+1$ 是可能的食物数量（从0到 $K$ ）。
初始化：
- 对于最后一天，如果背包中没有食物（ $foodCnt=0$ ），必须购买1份食物，花费为 $data[n−1]$ 。
- 如果背包中有食物（ $foodCnt>0$ ），则不需要购买，花费为0。
动态规划递推：
- 外层循环从第 $n−2$ 天开始递推到第0天。
- 内层循环遍历当前可能的食物数量 $curFoodCnt$ 。
- 对于每个可能的购买数量 $addFoodCnt$ ，计算购买花费 $needMoney$ 和下一状态的食物数量 $nextFoodCnt$ 。
- 更新 $dp[nthDay][curFoodCnt]$ 为最小的总花费。
返回结果：最后返回 $dp[0][0]$ ，即从第0天开始，背包为空的情况下的最小总花费。

时间复杂度和空间复杂度分析

时间复杂度：
- 外层循环遍历 $n$ 天，时间复杂度为 $O(n)$ 。
- 内层循环遍历背包可能的食物数量，复杂度为 $O(k)$ 。
- 最内层循环遍历可能的购买数量，复杂度为 $O(k)$ 。
- 总的时间复杂度为 $O(n×k^2)$
空间复杂度：
- 使用了一个二维数组 $dp[n][k+1]$ ，空间复杂度为 $O(n×k)$

总结

这道题目考察了动态规划的应用，特别是多维状态下的最优化问题。通过精确地定义状态和状态转移方程，我们能够有效地解决问题。关键在于理解在每一天可能的决策，以及如何在满足约束条件下找到最小的总花费。时间和空间复杂度虽然较高，但在 $n$ 和 $k$ 不大的情况下，仍然是可行的。