问题描述
小S在码头租用货船，面临一个优化问题：在有限的预算内，如何选择不同类型货船的组合以最大化总载货量。这个问题是一个典型的动态规划问题，可以通过构建一个二维数组来解决。
问题分析
首先，我们需要理解题目中的几个关键参数：
Q：货船的种类数量。V：小S可用的总预算。ships：一个列表，包含每种货船的数量m[i]、租赁价格v[i]和每艘货船的最大载货量w[i]。
我们的目标是在不超过预算V的前提下，计算出能够租用的货船的最大总载货量。
思路解析
解决这个问题的关键在于使用动态规划（DP）的思想。我们可以定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i种货船中，预算为j时的最大载货量。通过遍历每一种货船和每一种预算，我们可以逐步构建这个数组。
算法详解与代码实现
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初始化DP数组： 创建一个
Q+1行V+1列的二维数组dp，所有元素初始化为0。dp[0][j]表示没有货船时，预算为j的最大载货量，显然为0。def solution(Q, V, ships): dp = [[0] * (V + 1) for _ in range(Q + 1)] -
遍历每一种货船： 对于每一种货船，我们需要考虑在不同预算下选择这种货船的不同数量。
for i in range(1, Q + 1): m, v, w = ships[i - 1] -
选择或不选择当前货船： 对于每一种预算，我们有两种选择：不选择当前货船，或者选择当前货船的不同数量。
for j in range(V + 1): dp[i][j] = dp[i - 1][j] # 不选择第 i 种货船 -
选择当前货船的不同数量： 我们需要计算在当前预算下，选择不同数量的当前货船能够得到的最大载货量。
for k in range(1, min(m, j // v) + 1): if j >= k * v: dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - k * v] + k * w) -
返回结果： 最终，
dp[Q][V]将包含在所有货船和预算V下的最大载货量。return dp[Q][V] -
测试样例： 我们可以通过几个测试样例来验证算法的正确性。
if __name__ == "__main__": ships = [[2, 3, 2], [3, 2, 10]] ships2 = [[30, 141, 47], [9, 258, 12], [81, 149, 13], [91, 236, 6], [27, 163, 74], [34, 13, 58], [61, 162, 1], [80, 238, 29], [36, 264, 28], [36, 250, 2], [70, 214, 31], [39, 116, 39], [83, 287, 4], [61, 269, 94], [23, 187, 46], [78, 33, 29], [46, 151, 2], [71, 249, 1], [67, 76, 85], [72, 239, 17], [61, 256, 49], [48, 216, 73], [39, 49, 74]] print(solution(2, 10, ships) == 32) print(solution(23, 400, ships2) == 1740)
个人思考
在解决这个问题时，我意识到动态规划是一种强大的工具，它允许我们在复杂问题中寻找最优解。通过将问题分解为更小的子问题，并存储这些子问题的解，我们可以避免重复计算，从而提高算法的效率。此外，我也认识到在实际应用中，问题的具体细节（如货船的数量限制）对算法的设计和实现有着重要影响。在编写代码时，我特别注意了如何清晰地表达算法的逻辑，以及如何通过测试样例来验证算法的正确性。通过这个过程，我加深了对动态规划和算法调试的理解。
