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问题描述

小R正在研究一组观光景点，每个景点都有一个评分，保存在数组 values 中，其中 values[i] 表示第 i 个观光景点的评分。同时，景点之间的距离由它们的下标差 j - i 表示。

一对景点 (i < j) 的观光组合得分为 values[i] + values[j] + i - j，也就是两者评分之和减去它们之间的距离。

小R想知道，在哪种情况下能够获得观光景点组合的最高得分。

测试样例

样例1：

输入：values = [8, 3, 5, 5, 6]
输出：11

样例2：

输入：values = [10, 4, 8, 7]
输出：16

样例3：

输入：values = [1, 2, 3, 4, 5]
输出：8 以下是对这道题目的分析：

一、题目理解 1. 数据给定方式：题目通过一个数组values给出了各个观光景点的评分，并且规定景点之间的距离由它们的下标差来表示。

2. 观光组合得分计算方式：对于一对景点(i < j)，其观光组合得分的计算公式为values[i] + values[j] + i - j，即需要考虑景点的评分以及它们之间的距离因素来计算组合得分。
3. 目标明确：要找出在哪种情况下能够获得观光景点组合的最高得分。

二、解题思路分析

1. 暴力枚举思路： - 最直接的想法是通过两层循环来枚举所有可能的景点组合。外层循环遍历i从0到len(values) - 2，内层循环遍历j从i + 1到len(values) - 1。 - 对于每一对(i, j)，根据给定的公式计算其观光组合得分，并记录下最高得分。 - 这种方法的时间复杂度为$O(n^2)$，其中n是景点的数量，因为需要对所有可能的景点对进行计算。
2. 优化思路 - 一次遍历思路： - 可以尝试通过一次遍历数组来找到最高得分。 - 对于每个景点j，我们希望找到在它之前的某个景点i，使得values[i] + values[j] + i - j的值最大。 - 对公式进行变形：values[i] + values[j] + i - j = (values[i] + i) + (values[j] - j)。 - 可以先遍历数组，在遍历过程中记录下对于每个j，values[j] - j的值，同时维护一个变量来记录当前遇到的最大的values[i] + i的值（其中i < j）。 - 这样，对于每个j，就可以通过当前最大的values[i] + i加上values[j] - j来得到当前可能的最大观光组合得分，并更新全局的最高得分。 - 这种方法的时间复杂度为$O(n)$，只需要遍历数组一次，相比暴力枚举在效率上会有很大提升。 ### 四、测试样例分析 1. **样例1**： - 输入values = [8, 3, 5, 5, 6]。 - 暴力枚举时：会依次计算所有可能的景点组合得分，比如(0, 1)组合得分：8 + 3 + 0 - 1 = 10；(0, 2)组合得分：8 + 5 + 0 - 2 = 11等等，最终找到最高得分是11。 - 一次遍历实现时：当j = 0，max_values_i_plus_i = 8 + 0 = 8，max_score = max(-inf, 8 + (8 - 0)) = 8；当j = 1，max_values_i_ petits_i = max(8, 3 + 1) = 8，max_score = max(8, 8 + (3 - 1)) = 8；当j = 2，max_values_i_plus_i = max(8, 5 + 2) = 8，max_score = max(8, 8 + (5 - 2)) = 11等等，最终也得到最高得分是11。 2. **样例2**： - 输入values = [10, 4, 8, 7]。 - 类似样例1的分析过程，无论是暴力枚举还是一次遍历实现，最终都能得到最高得分是16。 3. **样例3**： - 输入values = [1, 2, 3, 4, 5]。 - 同样，通过两种实现方式进行分析计算，最终都能得到最高得分是8`。

总结感悟

1. 问题分析与公式变形的重要性：本题通过对观光组合得分公式的分析和变形，找到了一种更高效的解题思路。这让我体会到在面对一个复杂的计算公式和问题时，仔细分析公式的结构，尝试进行合理的变形，往往能发现隐藏的规律和更优的解题方法。
2. 优化算法的必要性：暴力枚举虽然能解决问题，但时间复杂度较高，在处理大规模数据时效率会很低。而通过优化思路，如本题中的一次遍历方法，能够大大降低时间复杂度，提高算法的运行效率。这提醒我们在解决问题时，要不断思考是否有更优化的算法来替代原始的、效率较低的方法。
3. 代码实现与理解：两种代码实现方式（暴力枚举和一次遍历）各有特点。暴力枚举代码逻辑相对简单直接，但效率低；一次遍历代码虽然实现了高效的计算，但需要对公式变形有较深入的理解才能正确编写。这让我认识到在编程中，不仅要会实现代码，更要理解背后的算法原理，这样才能根据实际情况选择最合适的实现方式。