数组操作的期望问题 | 豆包MarsCode AI刷题

问题描述

题目给定两个正整数 a 和 b，进行以下操作：

1. 随机选择一个数（a 或 b），将其乘以 2。
2. 该操作重复 2 次。
3. 计算最终两个数之和的期望值。

示例分析

• 示例1：a=3,b=3

  • 有 $\frac{1}{2}$​ 的概率选择 a，操作后：

    • 若两次均选择 a：3×4+3=15
    • 若第一次选择 a，第二次选择 b：3×2+3×2=12
    • 概率分布：$\frac{1}{4} \cdot 15 + \frac{2}{4} \cdot 12 + \frac{1}{4} \cdot 15 = 13.5$

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核心公式

1. 操作会随机选择 a 或 b，每次选择的概率为$\frac{1}{2}$。

2. 操作两次后的可能结果：

   • 两次均选择 a：4a+b，概率为 $\frac{1}{4}$​。
   • 一次选择 a，一次选择 b：2a+2b，概率为 $\frac{2}{4}$。
   • 两次均选择 b：a+4b，概率为 $\frac{1}{4}$。

期望公式：

期望值=$\text{期望值} = \frac{1}{4}(4a + b) + \frac{1}{2}(2a + 2b) + \frac{1}{4}(a + 4b)$

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图解流程

1. 输入处理：

   • 输入两个正整数 a 和 b。

2. 计算期望值：

   • 根据公式： $\text{期望值} = \frac{1}{4}(4a + b) + \frac{1}{2}(2a + 2b) + \frac{1}{4}(a + 4b)$
   • 结果保留两位小数。

3. 输出期望值：

   • 格式化输出为字符串形式。

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优化代码实现

python
复制代码
def solution(a: int, b: int) -> str:
    # 计算期望值
    expected_sum = (4 * a + b) / 4 + (2 * a + 2 * b) / 2 + (a + 4 * b) / 4
    
    # 格式化输出结果，保留两位小数
    return f"{expected_sum:.2f}"

if __name__ == '__main__':
    # 测试用例
    print(solution(3, 3) == '13.50')  # 示例1
    print(solution(5, 7) == '27.00')  # 示例2
    print(solution(1, 1) == '4.50')  # 示例3

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知识总结

1. 期望的计算：

   • 期望值公式： $E(X) = \sum (\text{结果} \times \text{对应概率})$
   • 将概率与可能的操作结果结合，逐步求和。

2. 概率与均匀分布：

   • 每次随机选择 a 或 b，概率为 $\frac{1}{2}$，使用公式权衡多次操作后的结果。

3. Python 格式化输出：

   • 使用 f"{value:.2f}" 格式化输出结果，保留两位小数。

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学习计划

第一阶段：基础入门（1~2周）

目标：
掌握概率和期望的基本概念与计算公式，能够解决简单的独立事件概率问题。

方法：

1. 学习概率基础，包括概率加法、乘法公式及均匀分布的基本概念。

2. 每天练习 3~5 道简单题目，如抛硬币、多选一个事件等，熟悉独立事件的期望计算。

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第二阶段：进阶提升（3~5周）

目标：
能够灵活运用概率和期望公式，处理多次独立操作或条件概率相关题目。

方法：

1. 学习多次操作下的概率分布，如二项分布和几何分布。
2. 练习动态调整概率的场景（如两步操作、条件概率）。
3. 结合编程（Python 或其他语言）完成模拟，验证概率和期望计算。每天刷 5~7 道题目，重点关注递归、条件概率和组合概率题型。

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第三阶段：强化应用（6~8周）

目标：
能够解决复杂的概率问题，处理多分支、多条件下的期望值计算。

方法：

1. 专注于经典概率问题（如彩票期望值、博弈问题等）。
2. 掌握期望与最优策略结合的题目类型，理解如何通过期望值优化策略。
3. 进行总结归纳，记录解题过程中易错点和高效解法。

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第四阶段：总结复盘与错题分析（9~10周）

目标：
通过复盘强化知识点，攻克错题，提升综合能力。

方法：

1. 梳理前期刷题中的错题，归纳问题原因（如公式不熟、细节疏漏）。
2. 制定针对性补弱计划，集中突破薄弱环节。
3. 模拟考试或在线参加竞赛，验证学习效果，调整备战策略。

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高效学习建议

1. 分阶段学习：每阶段聚焦一个核心知识点，稳扎稳打。

2. 错题本管理：记录每次错题的原因和正确解法，定期复盘。

3. 结合工具学习：通过 AI 刷题工具自动分析错误，获取高效解题方案。

4. 每日总结：每天刷题后写总结，记录新知识点和高效技巧。

5. 分散式练习：每天多次短时练习，保持知识吸收的持续性和高效性。

6. 边界条件处理：

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工具运用

1. AI 辅助代码检查：

   • 通过 豆包MarsCode AI 或其他辅助工具验证公式实现的正确性。

2. 与数学结合：

   • 使用数学工具（如 WolframAlpha）验证计算结果是否正确。

3. 为初学者的建议：

   • 从简单的概率问题入手，逐步过渡到复杂的期望值计算。
   • 在练习中多尝试边界情况，提高对题目全面性的理解。

通过这种方式，能更高效地理解和解决概率期望类问题。