问题理解
小F和朋友在一个 n×m 的棋盘上进行游戏，棋子初始位置在左上角 (1,1)。小F每次可以向右或向上移动棋子，移动的步数必须为奇数单位。如果棋子无法继续移动到棋盘内的有效区域时，则该玩家输掉游戏。小F先手出发，问你是否小F可以必胜。
关键点
- 移动步数为奇数：这意味着每次移动的步数必须是1, 3, 5, ... 等奇数。
- 棋盘边界：棋子不能移出棋盘边界。
- 先手优势：小F先手，需要判断是否存在一种策略使得小F必胜。
解题思路
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边界情况：
- 如果棋盘大小为 1×1，小F无法移动，直接输掉游戏。
- 如果棋盘大小为 1×m 或 n×1，小F可以一次性移动到棋盘的另一端，对手无法继续操作，小F获胜。
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一般情况：
- 需要考虑棋盘大小为 n×m 的情况，其中 n>1 且 m>1。
- 可以通过递归或动态规划的方式来判断是否存在必胜策略。
数据结构与算法
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动态规划：
- 使用一个二维数组
dp[i][j]表示从位置 (i,j) 出发是否能必胜。 dp[i][j] = true表示从 (i,j) 出发可以必胜，dp[i][j] = false表示从 (i,j) 出发必败。- 初始状态：
dp[n][m] = false，因为从右下角出发无法移动。 - 状态转移：从当前位置 (i,j) 出发，如果能到达一个
dp[x][y] = false的位置，则dp[i][j] = true。
- 使用一个二维数组
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递归：
- 从当前位置 (i,j) 出发，尝试所有可能的奇数步数移动，判断是否存在一种移动使得对手必败。
public class Main {
public static String solution(int n, int m) {
// 创建一个二维数组来存储每个位置的胜负状态
boolean[][] dp = new boolean[n + 1][m + 1];
// 初始化右下角的状态为false，因为从右下角出发无法移动
dp[n][m] = false;
// 从右下角开始，逆向填充dp数组
for (int i = n; i >= 1; i--) {
for (int j = m; j >= 1; j--) {
if (i == n && j == m) continue; // 跳过右下角
// 检查所有可能的奇数步数移动
boolean canWin = false;
for (int step = 1; step < Math.max(n, m); step += 2) {
if (i + step <= n && !dp[i + step][j]) {
canWin = true;
break;
}
if (j + step <= m && !dp[i][j + step]) {
canWin = true;
break;
}
}
dp[i][j] = canWin;
}
}
// 返回结果
return dp[1][1] ? "Yes" : "No";
}
public static void main(String[] args) {
System.out.println(solution(1, 1).equals("No"));
System.out.println(solution(1, 4).equals("Yes"));
System.out.println(solution(4, 1).equals("Yes"));
System.out.println(solution(4, 4).equals("No"));
}
}
总结
通过动态规划或递归的方式，可以判断小F是否存在必胜策略。关键在于理解奇数步数的移动规则和棋盘边界的限制。
