构造数组问题：最小化元素和的思路与实现 | 豆包MarsCode AI刷题

在算法学习中，如何根据特定规则构造一个数组并优化其某一属性（如最小化元素和）是一个经典问题。这篇博客将带你逐步分析一道相关题目，帮助你理解问题背后的数学规律与算法实现。

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题目描述

小C需要构造一个包含 ( n ) 个元素的数组，且满足以下条件：

1. 数组中的所有元素两两不同。
2. 数组所有元素的最大公约数为 ( k )。
3. 数组元素之和尽可能小。

任务：输出该数组元素之和的最小值。

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示例

输入：

• ( n = 3 )，( k = 1 )

输出：

• 最小元素和为 ( 6 )。

解释： 当 ( k = 1 ) 时，最小和的数组是 [1, 2, 3]，元素和为 ( 1+2+3=6 )。

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其他测试样例

输入	输出	数组
( n = 3, k = 1 )	( 6 )	[1, 2, 3]
( n = 2, k = 2 )	( 6 )	[2, 4]
( n = 4, k = 3 )	( 30 )	[3, 6, 9, 12]

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解题思路

分析题目条件后，我们可以逐步推导构造数组的规则：

1. 两两不同：数组中的元素需要互不相同。
   • 选择数组元素时，可以从一个等差数列中取值。
2. 最大公约数为 ( k )：
   • 数组中所有数必须是 ( k ) 的倍数。
   • 最小的数可以是 ( k )，随后依次为 ( 2k, 3k, \ldots )。
3. 元素之和最小：
   • 按照上述规则，从小到大依次选取 ( n ) 个数。

因此，最优的数组构造方式是： [ [k, 2k, 3k, \ldots, nk] ]

数学推导

该数组的和为： [ S = k \cdot (1 + 2 + 3 + \cdots + n) ] 其中 ( 1+2+\cdots+n ) 是前 ( n ) 个正整数的和，公式为： [ \text{Sum} = \frac{n \cdot (n + 1)}{2} ] 所以，总和可以表示为： [ S = k \cdot \frac{n \cdot (n + 1)}{2} ]

这一公式可以帮助我们直接计算结果，而无需真正构造数组。

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代码实现

下面的代码实现了这一逻辑：

public class Main {
    public static int solution(int n, int k) {
        // 初始化结果
        int res = 0;
        // flag 记录当前元素值，初始为 k
        int flag = k;
        // 构造数组并累加和
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            res += flag;
            flag += k; // 下一个元素
        }
        return res;
    }

    public static void main(String[] args) {
        // 测试样例
        System.out.println(solution(3, 1) == 6); // 输出 true
        System.out.println(solution(2, 2) == 6); // 输出 true
        System.out.println(solution(4, 3) == 30); // 输出 true
    }
}

代码详解

1. 循环构造数组：
   • 使用变量 flag 从最小的倍数 ( k ) 开始，每次增加 ( k )。
2. 累加结果：
   • 将当前的 flag 累加到结果 res 中。
3. 返回结果：
   • 最终的和即为所求最小值。

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举例

以 ( n = 4, k = 3 ) 为例，构造数组的步骤如下：

1. 从 ( 3 ) 开始，依次取 ( 6, 9, 12 )：
   • 数组为 [3, 6, 9, 12]。
2. 计算和：
   • ( 3+6+9+12 = 30 )。

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时间复杂度分析

算法效率

1. 循环：
   • 代码中存在一个长度为 ( n ) 的循环，时间复杂度为 ( O(n) )。
2. 常数时间操作：
   • 每次迭代的计算（累加）为常数时间操作 ( O(1) )。

总体复杂度

[ O(n) ]

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总结

这道题的核心在于：

1. 理解最大公约数的条件限制。
2. 运用等差数列的性质，简化计算。

通过以上方法，我们不仅可以快速得出结果，还能利用数学规律优化代码。