题目解析：构造特定条件的数组并求其元素之和的最小值
在解决这个数学问题时，我们需要构建一个包含 n 个元素的数组，同时满足几个特定的条件。这些条件不仅要求数组元素两两不同，还要求它们的最大公约数为 k，且数组元素之和要尽可能小。下面，我们将逐步分析这个问题，并通过逻辑推理和数学原理来找到解决方案。
题目要求与初步分析
首先，我们需要明确题目中的几个关键点：
- 数组元素数量：数组必须包含 n 个元素。
- 元素唯一性：数组中的所有元素必须是唯一的，即两两不同。
- 最大公约数：数组所有元素的最大公约数必须为 k。
- 元素和最小化：在满足上述条件的前提下，数组元素之和应尽可能小。
接下来，我们进行初步分析：
- 由于所有元素的最大公约数为 k，这意味着每个元素都必须是 k 的倍数。
- 为了使数组元素之和最小，我们应该从 k 开始，依次选择最小的 n 个 k 的倍数作为数组元素。
- 由于 k 的倍数在数值上是等差的（公差为 k），因此这些数不仅满足最大公约数的条件，还自动保证了两两不同。
构造满足条件的数组
在构造数组时，我们需要确保所选元素满足所有条件。以下是一个逐步构建数组的方法：
- 起始元素：选择 k 作为数组的第一个元素，因为它是满足条件的最小数。
- 后续元素：从 k 开始，每次增加 k，得到下一个元素。这样，我们可以确保每个新元素都是 k 的倍数，并且与之前的元素不同。
- 终止条件：重复上述步骤，直到数组包含 n 个元素为止。
这个构建过程不仅简单，而且非常有效，因为它直接利用了 k 的倍数性质来确保元素之间的唯一性和最大公约数条件。
验证数组的有效性
在构建完数组后，我们需要验证它是否满足所有条件：
- 元素数量：检查数组是否包含 n 个元素。
- 元素唯一性：确保数组中没有重复的元素。由于我们是从 k 开始，每次增加 k 来生成新元素，因此这个条件自然满足。
- 最大公约数：计算数组中所有元素的最大公约数，并验证它是否等于 k。由于每个元素都是 k 的倍数，因此这个条件也必然满足。
计算数组元素之和
最后，我们需要计算数组元素之和。这个步骤相对简单，只需将数组中的所有元素相加即可。由于我们是从 k 开始，依次选择最小的 n 个 k 的倍数作为数组元素，因此得到的数组元素之和将是满足条件的最小和。
代码详解
# 初始化数组和
total_sum = 0
# 选择最小的 n 个 k 的倍数
for i in range(1, n + 1):
total_sum += k * i
return total_sum
if __name__ == '__main__':
print(solution(n = 3, k = 1) == 6)
print(solution(n = 2, k = 2) == 6)
print(solution(n = 4, k = 3) == 30)
if __name__ == '__main__':
print(solution(n = 3, k = 1) == 6)
print(solution(n = 2, k = 2) == 6)
print(solution(n = 4, k = 3) == 30)
解题思路总结
综上所述，解决这个问题的思路可以概括为以下几个步骤：
- 确定起始元素 k。
- 从 k 开始，依次选择最小的 n 个 k 的倍数作为数组元素。
- 验证数组是否满足所有条件。
- 计算并输出数组元素之和。
这个解题思路不仅逻辑清晰，而且易于实现。它充分利用了 k 的倍数性质来简化问题，并确保了得到的数组满足所有条件，且元素之和最小。
