184. 小E的倍数子集关系｜豆包MarsCode AI 刷题184. 小E的倍数子集关系｜豆包MarsCode

问题描述

小E想知道一个给定集合中，有多少个子集满足以下条件：

子集内的所有元素数量大于 1。
子集内的所有元素两两之间互为倍数关系。

由于结果可能非常大，输出的结果需要对 $10^9+7$ 取模。

样例

样例1：

输入：n = 5,a = [1, 2, 3, 4, 5]
输出：6

样例2：

输入：n = 6,a = [2, 4, 8, 16, 32, 64]
输出：57

样例3：

输入：n = 4,a = [3, 6, 9, 12]
输出：5

题目分析

本题是一个较为经典的方案计数问题，如果我们采用暴力枚举集合的方式去完成这道题目，时间复杂度将会是恐怖的 $O(2^n)$ ，很明显是不优的做法，既然如此，我们就要尝试观察题目性质，采用动态规划的方式去解决问题。

本题题目要求子集内的所有元素两两之间互为倍数关系。需要检查倍数关系，首先对数组进行排序是有益的，通过排序，可以确保在检查倍数关系时，前面的元素一定是较小的。

动态规划-状态设置

我们采用类似于LIS问题（最长上升子序列）问题的解决方案，dp[i]表示排序后，以a[i]为最大元素的集合方案数为多少。

动态规划-转移方式

初始化动态规划数组：创建一个动态规划数组 dp，初始化所有元素为 1 ，即 a[i] 独立作为一个集合的情况。
动态规划更新：遍历数组中的每个元素 a[i]，对于每个 a[i]，再遍历其之前的所有元素 a[j]。
- 如果 a[i] 是 a[j] 的倍数，则 dp[i] 增加 dp[j] 的值。
最终结果是所有 dp[i] - 1 的和，因为每个子集至少包含两个元素，所以我们需要减去最开始设置的每个 a[i] 独立作为一个集合的情况。

时空复杂度

时间复杂度 $O(n^2)$ ，空间复杂度 $O(n)$

算法步骤

排序，保证前面的元素一定是较小的。
创建一个动态规划数组 dp，初始化为 1。
遍历数组中的每个元素 a[i]，对于每个 a[i]，再遍历其之前的所有元素 a[j]。如果 a[i] 是 a[j] 的倍数，则 dp[i] 增加 dp[j] 的值。
最终结果是所有 dp[i] - 1 的和，因为每个子集至少包含两个元素。
在每次更新 dp[i] 和 ans 时，都进行取模操作，以防止溢出。

代码 - C++

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e9+7;
int solution(int n, vector<int> a) {
    sort(a.begin(),a.end());
    ll ans = 0;
    vector<ll> dp(n,0);
    for(int i=0;i<n;i++) {
        if(a[i] <= 0) continue;
        dp[i] = 1;
        for(int j=0;j<i;j++) {
            if(a[j] <= 0) continue;;
            if(a[i] % a[j] == 0) dp[i] += dp[j];
        }
        dp[i] %= mod;
        ans += dp[i] - 1;
    }
    return (ans % mod + mod) % mod;
}

思考

本题的思考是从排序出发，抓住了题目中最关键的倍数性质，通过排序的方式大大降低了题目思考的难度，并套用了LIS问题的解决方式设置状态并递推。

在解决复杂问题时，可以尝试将问题抽象化，找到通用的解法，再具体问题具体分析，将通用的解决方式与经验套用到不同的场景之中。

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