AI刷题33. 卡牌翻面求和问题解析

问题描述

小M有 nn 张卡牌，每张卡牌的正反面分别写着不同的数字，正面是 aiai，背面是 bibi。小M希望通过选择每张卡牌的一面，使得所有向上的数字之和可以被3整除。你需要告诉小M，一共有多少种不同的方案可以满足这个条件。由于可能的方案数量过大，结果需要对 109+7109+7 取模。

例如：如果有3张卡牌，正反面数字分别为 (1,2)，(2,3) 和 (3,2)，你需要找到所有满足这3张卡牌正面或背面朝上的数字之和可以被3整除的组合数。

测试样例

样例1：

输入：n = 3 ,a = [1, 2, 3] ,b = [2, 3, 2]
输出：3

样例2：

输入：n = 4 ,a = [3, 1, 2, 4] ,b = [1, 2, 3, 1]
输出：6

样例3：

输入：n = 5 ,a = [1, 2, 3, 4, 5] ,b = [1, 2, 3, 4, 5]
输出：32

解题思路

1. 理解问题

我们需要找到所有可能的卡牌组合，使得这些组合的数字之和可以被3整除。由于每张卡牌有正反两面，因此每张卡牌有两种选择。问题的核心在于如何高效地计算所有可能的组合，并且确保这些组合的和可以被3整除。

2. 动态规划的引入

为了高效地计算所有的组合，我们可以使用动态规划（Dynamic Programming, DP）。我们需要一个三维的DP数组 dp[i][j][k]，其中：

i 表示前 i 张卡牌
j 表示当前和模3的结果
k 表示选择卡牌的数量

3. 初始化DP数组

我们初始化 dp[0][0][0] = 1，表示初始状态（没有选择任何卡牌）时，和模3的结果为0，且选择卡牌的数量为0。

4. 状态转移方程

我们需要通过递推公式来填充DP数组。对于每一张卡牌，我们有两种选择：使用正面或使用背面。我们通过以下公式进行状态转移：

使用正面：dp[i][(j + a[i-1]) % 3][k+1] += dp[i-1][j][k]
使用背面：dp[i][(j + b[i-1]) % 3][k+1] += dp[i-1][j][k]

这里，i 表示当前处理的卡牌编号，j 表示当前和模3的结果，k 表示已经选择的卡牌数量。

5. 计算最终结果

最终结果是所有 dp[n][0][k] 的和，其中 n 是卡牌总数，k 是选择的卡牌数量，0 表示和模3的结果为0。由于结果可能非常大，我们需要对 109+7109+7 取模。

6. 代码实现

以下是完整的代码实现：

def solution(n: int, a: list, b: list) -> int:
    MOD = 10**9 + 7
    
    # 初始化dp数组
    dp = [[[0 for _ in range(n+1)] for _ in range(3)] for _ in range(n+1)]
    dp[0][0][0] = 1
    
    # 动态规划
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(3):
            for k in range(i):
                # 使用正面
                dp[i][(j+a[i-1])%3][k+1] = (dp[i][(j+a[i-1])%3][k+1] + dp[i-1][j][k]) % MOD
                # 使用背面
                dp[i][(j+b[i-1])%3][k+1] = (dp[i][(j+b[i-1])%3][k+1] + dp[i-1][j][k]) % MOD
    
    # 计算最终结果
    result = sum(dp[n][0][k] for k in range(1, n+1)) % MOD
    
    return result

if __name__ == '__main__':
    print(solution(3, [1, 2, 3], [2, 3, 2]) == 3)
    print(solution(4, [3, 1, 2, 4], [1, 2, 3, 1]) == 6)
    print(solution(5, [1, 2, 3, 4, 5], [1, 2, 3, 4, 5]) == 32)

7. 代码解释

MOD = 10**9 + 7：定义模数。
dp = [[[0 for _ in range(n+1)] for _ in range(3)] for _ in range(n+1)]：初始化三维DP数组。
dp[0][0][0] = 1：初始化初始状态。
for i in range(1, n+1)：遍历每一张卡牌。
for j in range(3)：遍历当前和模3的所有可能结果。
for k in range(i)：遍历已经选择的卡牌数量。
dp[i][(j+a[i-1])%3][k+1] = (dp[i][(j+a[i-1])%3][k+1] + dp[i-1][j][k]) % MOD：使用正面的转移方程。
dp[i][(j+b[i-1])%3][k+1] = (dp[i][(j+b[i-1])%3][k+1] + dp[i-1][j][k]) % MOD：使用背面的转移方程。
result = sum(dp[n][0][k] for k in range(1, n+1)) % MOD：计算最终结果。
return result：返回结果。