二进制之和

问题描述

小U和小R喜欢探索二进制数字的奥秘。他们想找到一个方法，将两个二进制字符串相加并以十进制的形式呈现。这个过程需要注意的是，他们的二进制串可能非常长，所以常规的方法可能无法处理大数。小U和小R希望你帮助他们设计一个算法，该算法能在保证时间复杂度不超过O(n^2)的前提下，返回两个二进制字符串的十进制求和结果。

测试样例

样例1：

输入：binary1 = "101" ,binary2 = "110"
输出：'11'

样例2：

输入：binary1 = "111111" ,binary2 = "10100"
输出：'83'

样例3：

输入：binary1 = "111010101001001011" ,binary2 = "100010101001"
输出：'242420'

样例4：

输入：binary1 = "111010101001011" ,binary2 = "10010101001"
输出：'31220'

样例5：

输入：binary1 = "11" ,binary2 = "1"
输出：'4'

同一道题，不同语言之间有着完全不一样的做法。

Python题解

计算两个二进制字符串的十进制求和结果最直接的做法便是:

转换为整数：首先将两个二进制字符串转换为十进制整数。
求和：然后将这两个十进制整数相加。
返回结果：最后返回它们的和。

由于直接将二进制字符串转换为十进制数可能会遇到大数问题，因此我们需要采用一种能够处理大数的方法。但Python 的内置类型支持大数运算，因此可以直接使用 Python 的 int() 函数将二进制字符串转换为十进制整数，指定基数为 2，这使得该题在使用Python语言情况下很容易实现。

def solution(binary1, binary2):
    num1 = int(binary1, 2)
    num2 = int(binary2, 2)
    total = num1 + num2
    return str(total)

正是因为Python 对大数的支持非常好，可以直接使用内置的 int() 函数将二进制字符串转换为十进制整数，然后再进行求和。Python 的 int() 函数可以处理任意长度的二进制字符串，而不会溢出。

Java题解

若Java需要采用Python的这套解决思路导航，由于Java 中没有像 Python 那样的内置大数支持，因此需要使用 BigInteger 类来处理大数。BigInteger 类提供了对任意精度整数的支持，可以用来处理任意长度的二进制字符串。

    public static String solution(String binary1, String binary2)  {

        BigInteger num1 = new BigInteger(binary1, 2);
        BigInteger num2 = new BigInteger(binary2, 2);

        BigInteger total = num1.add(num2);
        
        return total.toString();
    }

此外，还有逐位相加，处理进位，最终将结果转换为十进制的做法，下面是该做法的实现代码：

public static String solution(String binary1, String binary2) {
        // Please write your code here
        long ans = 0;long index = 1;char last = '0';
        for(int i=binary1.length()-1,j=binary2.length()-1;i>=0 || j>=0 || last!='0';){
            char b1 = '0';
            if(i>=0) b1 = binary1.charAt(i--);
            char b2 = '0';
            if(j>=0) b2 = binary2.charAt(j--);
            if(last=='0'){
                if(b1=='1' && b2=='1'){
                    last = '1';
                }else if(b1=='1' || b2=='1'){
                    ans += index;
                }
            }else {
                if(b1=='0' && b2=='0'){
                    ans += index;
                    last = '0';
                }else if(b1=='1' && b2=='1'){
                    ans += index;
                }
            }
            index*=2;
        }
        return Long.toString(ans);
    }

为什么不同语言对于此题有着完全不一样的做法呢？

1.大数支持：

Python：Python 的 int 类型可以自动处理大数，不需要额外的类或库。
Java：Java 的 int 和 long 类型有固定的范围，超过范围会溢出。因此，需要使用 BigInteger 类来处理大数。

2.内置函数：

Python：Python 提供了 int() 函数，可以直接将二进制字符串转换为十进制整数。
Java：Java 需要使用 BigInteger 类的构造函数来将二进制字符串转换为 BigInteger 对象。

3.字符串操作：

Python：Python 的字符串操作非常灵活，可以直接使用字符串进行各种操作。
Java：Java 的字符串操作相对复杂，需要使用 String 类的方法来处理字符串。

Python的大数支持的实现思路

Python 对大数的支持非常强大，这得益于其内置的整数类型 int 的设计。Python 的 int 类型在内部使用了一种动态长度的整数表示方法，可以自动处理任意大小的整数，而不会像 C 或 Java 那样受到固定大小的限制。下面是 Python 大数实现的底层机制的详细解释：

1. 动态长度的整数表示

Python 的 int 类型在内部使用了一种称为“长整数”的表示方法。这种表示方法允许整数的长度根据需要动态扩展，从而可以表示任意大的整数。

2. 内存管理

内存分配：Python 的 int 类型在内部使用一个数组来存储整数的各个部分。每个部分通常是一个固定大小的整数（通常是 30 位或 15 位，具体取决于平台）。当整数的大小超过当前数组的容量时，Python 会自动扩展数组的大小。
内存释放：当一个大整数不再被引用时，Python 的垃圾回收机制会自动释放其占用的内存。

3. 内部表示

字节序：Python 的大整数在内部是以小端字节序存储的，这意味着最低有效位存储在数组的起始位置。
位宽：每个部分的位宽通常是 30 位或 15 位，具体取决于平台。32 位系统上通常使用 15 位，64 位系统上通常使用 30 位。这样设计的原因是为了避免在进行乘法和加法运算时发生溢出。

4. 运算实现

加法和减法：Python 的大整数加法和减法运算通过逐位进行，类似于手工计算的方式。如果有进位或借位，会相应地调整相邻的位。
乘法：Python 的大整数乘法使用了 Karatsuba 算法或其他高效的乘法算法，这些算法的时间复杂度比传统的 O(n^2) 更低。
除法和取模：Python 的大整数除法和取模运算也使用了高效的算法，如 Newton-Raphson 迭代法。

5. 优化

缓存：Python 会对常用的小整数（通常是 -5 到 256 之间的整数）进行缓存，以提高性能。
内联：对于简单的整数运算，Python 解释器会尝试将这些运算内联，以减少函数调用的开销。