小Q的非素数和排列问题|豆包MarsCode AI刷题问题描述小C对排列很感兴趣，她想知道有多少个长度为$n$的排列满

问题描述

小C对排列很感兴趣，她想知道有多少个长度为 $n$ 的排列满足任意两个相邻元素之和都不是素数。排列定义为一个长度为 $n$ 的数组，其中包含从1到 $n$ 的所有整数，每个数字恰好出现一次。

测试样例

样例1：

输入：n = 5
输出：4

样例2：

输入：n = 3
输出：0

样例3：

输入：n = 6
输出：24

题目解析：

1.明确素数的定义：素数是大于1的正整数，且只能被1和它自身整除。

2.明确排列的定义：长度为n的排列是从1到n的所有整数的一个排列组合。
但是题目要求在所有可能的排列中，过滤掉不满足“任意两个相邻元素之和都不是素数”的排列，统计剩下的排列数量。

思路分析：

判断素数：
编写一个函数is_prime判断一个数是否为素数
构建非素数图：
使用一个图结构存储每个数字i和其相邻元素的关系。
如果i+j不是素数，则认为i和j之间有一条边。
回溯搜索合法排列：
使用递归+回溯方法，从任意一个数字开始，逐步构建排列。
在每一步，检查当前数字与排列末尾数字的和是否为非素数。
剪枝优化 ：
如果当前路径已不合法，立即停止搜索，减少不必要的计算。

解决方案：

素数判断函数：判断一个数字是否为素数。
构建非素数图：创建一个邻接表，记录从1到n每个数字可与哪些数字相邻。
回溯搜索排列：使用回溯算法生成所有可能的排列，并在过程中检查是否满足条件。

代码实现：

def is_prime(num):
    """判断一个数是否是素数"""
    if num < 2:
        return False
    for i in range(2, int(num ** 0.5) + 1):
        if num % i == 0:
            return False
    return True

def build_non_prime_graph(n):
    """构建图，找出哪些数字的和是非素数"""
    non_prime_pairs = {}
    for i in range(1, n + 1):
        non_prime_pairs[i] = set()
        for j in range(1, n + 1):
            if not is_prime(i + j):
                non_prime_pairs[i].add(j)
    return non_prime_pairs

def solution(n: int) -> int:
    """使用回溯法计算满足条件的排列数量"""
    graph = build_non_prime_graph(n)
    visited = [False] * (n + 1)  # 记录哪些数字已被使用
    count = 0  # 统计满足条件的排列数量

    def backtrack(path):
        nonlocal count
        if len(path) == n:
            count += 1
            return
        for next_num in range(1, n + 1):
            # 检查未访问过的数字，且与当前路径尾部数字相邻和非素数
            if not visited[next_num] and (not path or next_num in graph[path[-1]]):
                visited[next_num] = True  # 标记为已访问
                backtrack(path + [next_num])  # 递归搜索
                visited[next_num] = False  # 回溯，撤销标记

    backtrack([])
    return count

代码解释：

is_prime 函数：通过试除法判断一个数字是否为素数。
build_non_prime_graph 函数 ：创建一个邻接表，记录从1到n的每个数字可以与哪些数字相邻。
回溯算法：
递归地尝试每个数字。
如果当前排列满足条件，则继续尝试下一个数字。
如果排列长度达到n,则计数器加一。
优化：每次只尝试合法的数字组合，减少不必要的排列生成。

示例测试：

样例1：
```
print(solution(n = 5))  # 输出 4
```
样例2：
```
print(solution(n = 3)) # 输出 0
```
样例3：
```
print(solution(n = 6)) # 输出 24
```

时间复杂度：

图构建复杂度： $O(n^2)$ ，需要枚举1到n的所有数字对。
回溯搜索复杂度： $O(n!)$ ，在最坏情况下，需要生成所有排列。

因此，整体时间复杂度为 $O(n^2+n!)$ 。

空间复杂度：

存储非素数图： $O(n^2)$ 邻接表存储每个数字与其相邻的数字集合。
递归深度： $O(n)$ 最大递归深度为排列长度。

因此空间复杂度为 $O(n^2)$ 。

总结

本题通过图的构建将排列问题转化为图问题，简化了相邻数字和的判定。
使用回溯算法有效地枚举合法排列，并结合剪枝优化减少搜索空间。
虽然时间复杂度较高，但对于n≤10的问题，运行效率可以接受。