卡牌翻面求和问题｜豆包MarsCode AI 刷题题目解析：卡牌翻面求和问题小M有 nn 张卡牌，每张卡牌的正反面分

题目解析：卡牌翻面求和问题

小M有 nn 张卡牌，每张卡牌的正反面分别写着不同的数字，正面是 aiai，背面是 bibi。小M希望通过选择每张卡牌的一面，使得所有向上的数字之和可以被3整除。你需要告诉小M，一共有多少种不同的方案可以满足这个条件。由于可能的方案数量过大，结果需要对 109+7109+7 取模。

例如：如果有3张卡牌，正反面数字分别为 (1,2)，(2,3) 和 (3,2)，你需要找到所有满足这3张卡牌正面或背面朝上的数字之和可以被3整除的组合数。

测试样例

样例1：

输入：n = 3 ,a = [1, 2, 3] ,b = [2, 3, 2]
输出：3

样例2：

输入：n = 4 ,a = [3, 1, 2, 4] ,b = [1, 2, 3, 1]
输出：6

样例3：

输入：n = 5 ,a = [1, 2, 3, 4, 5] ,b = [1, 2, 3, 4, 5]
输出：32

题目背景

我们有 n 张卡牌，每张卡牌有两个数字，分别来自数组 a 和 b。每次我们从两张卡牌中选择一个数字。我们需要计算选出的卡牌数字和的余数为 0 的组合方式的个数，即选出的卡牌和除以 3 的余数为 0 的方案数。

解题思路

动态规划状态定义
- 定义一个 dp 数组，其中 dp[r] 表示选取若干张卡牌后的所有数字和除以 3 的余数为 r 的方案数。这里的 r 取值为 0, 1, 2，表示余数为 0、1、2 的情况。
- 初始时，dp[0] = 1，因为没有选择任何卡牌时，和为 0，显然能被 3 整除；dp[1] = 0 和 dp[2] = 0，表示没有选择任何卡牌时，余数为 1 或 2 的情况不成立。
状态转移
- 对于每张卡牌 i，有两种选择：要么选择 a[i]，要么选择 b[i]。每次选择时，我们都会更新每个余数的情况。
- 具体来说，假设当前 dp[r] 存储的是以余数 r 结尾的组合数目，如果我们选择 a[i]，新的余数变为 (r + a[i]) % 3，相应地，我们将 dp[r] 的值加到 new_dp[(r + a[i]) % 3] 上。同理，如果选择 b[i]，我们会更新 new_dp[(r + b[i]) % 3]。
这种方式通过遍历所有的卡牌，逐步累积并更新每个余数的可能组合。
最终结果
- 所有卡牌都选择完之后，dp[0] 即为最终的答案，因为我们要求的是所有可能的选择方式中，和除以 3 的余数为 0 的方案数。

代码解析

pythonCopy Code
def solution(n: int, a: list, b: list) -> int:
    MOD = 10**9 + 7  # 用来处理大数，防止溢出

    # 初始化动态规划数组
    dp = [0, 0, 0]
    dp[0] = 1  # 初始时，和为0的方案数为1

    for i in range(n):
        # 计算当前卡牌选择后的新方案数
        new_dp = [0, 0, 0]
        
        for r in range(3):
            # 对于每个余数r，可以选择a[i]或b[i]
            new_dp[(r + a[i]) % 3] = (new_dp[(r + a[i]) % 3] + dp[r]) % MOD
            new_dp[(r + b[i]) % 3] = (new_dp[(r + b[i]) % 3] + dp[r]) % MOD
        
        # 更新dp数组
        dp = new_dp

    # dp[0]就是我们需要的方案数
    return dp[0]

详细解释

初始化 dp 数组
- dp[0] = 1：表示在没有选卡牌的情况下，数字和为 0，可以被 3 整除。
- dp[1] = 0 和 dp[2] = 0：表示没有选卡牌时，和不能被 3 整除，初始时这两者不可能。
动态更新 dp
- 对于每一张卡牌，我们通过遍历当前所有可能的余数 r，计算选择当前卡牌 a[i] 或 b[i] 后可能的新余数，并更新到 new_dp 数组中。
- new_dp[(r + a[i]) % 3] 表示选择 a[i] 后的余数为 (r + a[i]) % 3，并将 dp[r] 加到对应的新余数位置上。
- 同样的操作也应用到 b[i]。
更新状态
- 遍历完所有卡牌后，dp 就会保存最终所有选卡牌后可能的余数情况。
- 最终返回 dp[0]，即和为 0，能够被 3 整除的组合方式数。
模运算
- 由于结果可能会非常大，为了避免溢出，所有的累加操作都使用 MOD = 10**9 + 7 来进行取模。

举例说明

输入 1：

pythonCopy Code
n = 3
a = [1, 2, 3]
b = [2, 3, 2]

选择卡牌后的和的余数为 0 的方案数为 3。

输入 2：

pythonCopy Code
n = 4
a = [3, 1, 2, 4]
b = [1, 2, 3, 1]

选择卡牌后的和的余数为 0 的方案数为 6。

输入 3：

pythonCopy Code
n = 5
a = [1, 2, 3, 4, 5]
b = [1, 2, 3, 4, 5]

选择卡牌后的和的余数为 0 的方案数为 32。

时间复杂度

时间复杂度为 O(n)，其中 n 是卡牌的数量。每张卡牌都遍历一次，对于每个卡牌，需要更新 3 个余数的情况，所以每次循环的时间复杂度为 O(3)，因此总的时间复杂度为 O(n)。

空间复杂度

空间复杂度为 O(3)，即 dp 数组的大小固定为 3，用来保存余数为 0、1、2 的方案数。

心得：

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