策略大师：小I与小W的数字猜谜挑战 | 豆包MarsCode AI刷题

问题描述

在一个数字游戏中，数字 1 到 n 中有一个是幸运数字，且这个数字是等概率随机选择的。玩家 小I 和 小W 轮流从这些数字中猜测幸运数字，小I 总是先开始猜。

游戏规则如下：每轮游戏后，主持人会宣布猜测结果是太大了、太小了，还是正确的。如果猜中，那么该轮猜测者即为游戏的获胜者。

假设 小I 和 小W 都采取最优策略，并且都知道对方也是如此，本题要求计算 小I 获胜的概率。请输出保留五位小数的结果。

解题思路

先说结论，这个题只需要一个式子就能做出来，$P_n=⌈\frac{n}{2}⌉/n$（⌈ ⌉是向上取整），下面我来分析一下。

首先，给定一个 n 值， 小I 获胜的概率为 $P_n$ 。 小I 从这 n 个数字中任取一个 i ，他会有 $\frac{1}{n}$ 的概率立即获胜，否则，数字就被划分为了两部分，一部分是 1~(i-1) 共 i-1 个数字，另一部分是 (i+1)~n 共 n-i 个数字。幸运数字有 $\frac{i-1}{n}$ 的概率落在前一个部分，有 $\frac{n-i}{n}$ 的概率落在后一个部分。

如果幸运数字落在前一个部分，就相当于从 小W 开始在 i-1 个数字中猜， 小I 获胜的概率就是 $1-P_{i-1}$ ，另一种情况同理。并且两人都会采取最优策略，所以最终可以得到$P_n = {max}_{1 \leq i \leq n} (\frac{1}{n} + \frac{i-1}{n} * (1 - P_{i-1}) + \frac{n-i}{n} * (1 - P_{n-i}))$ 。

接下来，我们要考虑怎么能让 $P_n$ 的值最大。我首先手动计算出一些 P 的最大值 $P_1=\frac{1}{1}$ , $P_2=\frac{1}{2}$ , $P_3=\frac{2}{3}$ , $P_4=\frac{2}{4}$ , $P_5=\frac{3}{5}$ , $P_6=\frac{3}{6}$ , $P_7=\frac{4}{7}$ , $P_8=\frac{4}{8}$（不约分可以更好地看出规律）。这里其实就已经能看出来结论了，但是还没有严谨的证明，下一步就是要证明这个结论。

数学证明

首先，可以通过很简单的数学归纳得出每一个 $P_n$ 的分母就是n（不约分的情况下），为了简化计算，设 $P_n$ 的分子为 $a_n$ ，可以得出 $P_n = {max}_{1 \leq i \leq n} \frac{1 + ((i-1) - a_{i-1}) + ((n-i) - a_{n-i})}{n} = {max}_{1 \leq i \leq n}\frac{n - (a_{i-1} + a_{n-i})}{n}$ ，即$a_n = {max}_{1 \leq i \leq n}(n - (a_{i-1} + a_{n-i}))$ 。

然后我们使用数学归纳法证明 $a_n = ⌈\frac{n}{2}⌉$ ，已经证明在 $n \leq 8$ 时命题成立。假设在 $n \leq m$ 时命题成立，那么在 $n=m+1$ 时，为使 $a_{m+1} = m+1 - (⌈\frac{i-1}{2}⌉+⌈\frac{m+1-i}{2}⌉)$ 取最大值，我们进行分类讨论：若 m + 1 为奇数，令 i 为奇数则 $a_{m+1}=\frac{m+2}{2}$ ，令 i 为偶数则 $a_{m+1}=\frac{m}{2}$ ；若 m + 1 为偶数，令 i 为奇数则 $a_{m+1}=\frac{m+1}{2}$ ，令 i 为偶数则 $a_{m+1}=\frac{m+1}{2}$ 。可以看出，无论 m + 1 为奇数还是偶数，只要令 i 为奇数就可以使 $a_{m+1}$ 取得最大值，且满足$a_{m+1} = ⌈\frac{m+1}{2}⌉$ 。

由此得证，$P_n=⌈\frac{n}{2}⌉/n$ 。

代码实现

得到上面的结论，代码就可以写得很简短了。

std::string solution(int n) {
    if(n == 1) return "1.00000";
    int result = ((n + 1) / 2 * 1000000 / n + 5) / 10;
    return "0." + std::to_string(result % 100000);
}

除了 $n=1$ 时概率为 1 ，其余情况下概率都是小于 1 的。用整型来计算小数点后数字， (n + 1) / 2 是计算 $⌈\frac{n}{2}⌉$ , (x * 1000000 / n + 5) / 10 是四舍五入保留五位。

复杂度分析

数学推理复杂度 $\uparrow \uparrow \uparrow$

代码复杂度O(1)