做题笔记：补给站最优花费问题解析

问题描述 小U计划进行一场从地点A到地点B的徒步旅行，旅行总共需要天。为了在旅途中确保安全，小U每天都需要消耗一份食物。在路程中小U会经过一些补给站，这些补给站分布在不同的大数上，且每个补给站的食物价格各不相同。小U需要在这些补给站中购买食物，以确保每天都有足够的食物。现在她想知道，如何规划在不同补给站的购买策略，以使她能够花费最少的钱顺利完成这次旅行。

M:总路程所需的天数。
N:路上补给站的数量，
p:每个补给站的描述，包含两个数字A和 B，表示第A天有一个补给站，并且该站每份食物的价格为B元.
保证第0天一定有一个补给站，并且补给站是按顺序出现的。 测试样例
样例1:
- 输入:m=5,n=4,p=[[0,2],[1,3],[2,1],[3,2]]
- 输出:7
样例2:
- 输入:m=6,n=5,p=[[0,1],[1,5],[2,2],[3,4],[5,1]]
- 输出:6
样例3:
- 输入:m=4,n=3,p=[[0,3],[2,2],[3,1]]
- 输出:9

问题分析

为了求解最优购买策略，需要重点考虑以下几点：

每日消耗：每天需要消耗一份食物，意味着补给策略必须覆盖所有天数。
补给站价格差异：不同补给站的价格各不相同，必须优先考虑低价的补给站以减少总成本。
动态决策：价格最低的补给站可能需要在未来的某一天使用，必须有规划地购买。

解题思路

我设计了两种解决方法，分别基于最小堆（优先队列）和动态规划。两种方法各有特点，以下对其进行详细解读。

方法一：基于最小堆的贪心策略

核心思路
利用最小堆（PriorityQueue）动态存储当前可用的补给站价格，每一天只从堆中取出最低价格的食物进行购买。

步骤解析

初始化一个最小堆，用于维护补给站的食物价格。
遍历从第 0 天到第 (m-1) 天：
- 如果当天有补给站，将价格加入堆中。
- 从堆中取出价格最低的一份食物，计算总花费。
最终，堆的动态管理保证每一天的购买成本最低。

实现代码

public static int solutionHeap(int m, int n, int[][] p) {
    PriorityQueue<Integer> minHeap = new PriorityQueue<>();
    int totalCost = 0;
    int index = 0; // 补给站指针

    // 遍历每一天，0 到 m-1 天
    for (int day = 0; day < m; day++) {
        // 检查当天是否有补给站，添加当天的补给站价格到堆中
        if (index < n && p[index][0] == day) {
            minHeap.offer(p[index][1]);
            index++;
        }
        // 从堆中取最低价格
        if (!minHeap.isEmpty()) {
            totalCost += minHeap.peek();
        } else {
            // 理论上不会发生，保证第0天有补给站
            return -1;
        }
    }
    return totalCost;
}

优缺点分析

优点：实现简单直观，适合价格变化较大的情况。
缺点：每次访问堆的复杂度为 (O(\log n))，对于补给站较多的情况效率稍低。

方法二：基于动态规划

核心思路
利用动态规划数组记录到每一天的最小花费，递推公式结合当前最优价格计算当前花费。

动态规划定义

定义 (dp[i]) 为到第 (i) 天的最小总花费。
状态转移方程：
[ dp[i] = \min(dp[i-1] + \text{minPrice}, dp[i-1] + p[i][1]) ]
其中，(\text{minPrice}) 为当前已知的最低食物价格。

实现代码

public static int solutionDP(int m, int n, int[][] p) {
    int[] dp = new int[m];
    Arrays.fill(dp, Integer.MAX_VALUE);
    dp[0] = p[0][1]; // 第0天的花费就是第0天补给站的价格

    int index = 1;  // 补给站位置
    int minPrice = p[0][1];  // 当前最低价格

    for (int day = 1; day < m; day++) {
        // 无论当天是否有补给站，先假设延续前一天的最优花费
        dp[day] = dp[day - 1] + minPrice; // 延续前一天的最优花费

        // 如果有，更新当前最便宜的价格
        if (index < n && p[index][0] == day) {
            minPrice = Math.min(minPrice, p[index][1]);
            dp[day] = Math.min(dp[day], dp[day - 1] + minPrice);
            index++;
        }
    }
    return dp[m - 1];
}

优缺点分析

优点：适合补给站稀疏但价格变化较小的情况，数组直接存储结果，访问高效。
缺点：代码复杂度较高，状态转移方程需要仔细分析。

对比与思考

时间复杂度
- 贪心法（最小堆）：(O(m \cdot \log n))，堆操作开销较高。
- 动态规划：(O(m))，仅需线性遍历天数。
适用场景
- 贪心法适合补给站密集、价格波动大的情况。
- 动态规划适合补给站稀疏、价格波动较小的情况。
可扩展性
- 动态规划能更容易扩展到其他类似问题（如每份食物重量不同）。

运行结果
两种方法在所有测试用例中均能得到正确结果。

总结与反思

问题建模：本问题是典型的动态规划和贪心策略问题，理解其核心在于“每一天最优决策如何影响未来”。
代码实现：两种方法各有优劣，需要根据场景选择。
学习收获：动态规划更加通用，但需要花费更多时间分析状态转移公式；贪心法实现简单，但在一些场景可能无法全局最优。