数组元素之和最小化 | 豆包MarsCode AI刷题

数组元素之和最小化 | 豆包MarsCode AI刷题

数组元素之和最小化 - MarsCode

简单题，只需要从1*k开始贪心就好了

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摘要

给定整数 $n$ 和 $k$，需要构造一个长度为 $n$ 的数组，使得：

1. 数组元素两两不同。
2. 数组所有元素的最大公约数为 $k$。
3. 数组元素之和最小。

我们需要输出该数组元素之和的最小值。

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问题描述

任务：构造一个满足条件的数组，并返回其最小和。

条件：

1. 数组中所有元素两两不同。
2. 数组所有元素的最大公约数为 $k$。
3. 数组元素之和尽可能小。

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测试样例

示例 1

输入：

n = 3, k = 1

输出：

6

示例 2

输入：

n = 2, k = 2

输出：

6

示例 3

输入：

n = 4, k = 3

输出：

30

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算法原理

核心思路

1. 最大公约数的约束：

   • 数组元素的最大公约数是 $k$，这意味着数组中的每个元素必须是 $k$ 的倍数。
   • 因此，数组可以表示为： $[k \cdot a_1, k \cdot a_2, \dots, k \cdot a_n]$ 其中，$a_1, a_2, \dots, a_n$ 是两两不同的正整数。

2. 最小化数组之和：

   • 为了让数组之和最小，我们选择最小的 $n$ 个正整数： $a_1 = 1, a_2 = 2, \dots, a_n = n$
   • 数组构造为： $[k \cdot 1, k \cdot 2, \dots, k \cdot n]$

3. 计算总和：

   • 数组的总和为： $\text{sum} = k \cdot (1 + 2 + \dots + n)$
   • 根据等差数列求和公式： $1 + 2 + \dots + n = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}$
   • 代入计算： $\text{sum} = k \cdot \frac{n \cdot (n + 1)}{2}$

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时间复杂度

1. 数组构造复杂度：$O(1)$。
2. 数组求和复杂度：$O(1)$。

总时间复杂度：$O(1)$。

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空间复杂度

只需要常量级空间。

总空间复杂度：$O(1)$。

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Go 实现

package main

import "fmt"

// solution 计算数组元素之和的最小值
func solution(n int, k int) int {
    // 根据公式计算数组的最小和
    return k * n * (n + 1) / 2
}

func main() {
    fmt.Println(solution(3, 1) == 6)  // 应输出 true
    fmt.Println(solution(2, 2) == 6)  // 应输出 true
    fmt.Println(solution(4, 3) == 30) // 应输出 true
}

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Python 实现

def solution(n: int, k: int) -> int:
    """
    计算数组元素之和的最小值。
    """
    # 根据公式计算数组的最小和
    return k * n * (n + 1) // 2


if __name__ == "__main__":
    # 测试用例
    print(solution(3, 1) == 6)  # 应输出 True
    print(solution(2, 2) == 6)  # 应输出 True
    print(solution(4, 3) == 30) # 应输出 True

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输出解释

示例 1：

输入：

n = 3, k = 1

数组构造为 [1, 2, 3]。总和： $\text{sum} = 1 + 2 + 3 = 6$

示例 2：

输入：

n = 2, k = 2

数组构造为 [2, 4]。总和： $\text{sum} = 2 + 4 = 6$

示例 3：

输入：

n = 4, k = 3

数组构造为 [3, 6, 9, 12]。总和： $\text{sum} = 3 + 6 + 9 + 12 = 30$